Considere duas curvas
parametrizadas por comprimento de arco com a mesma curvatura, a mesma torção e tais que as curvas e os seus triedros de Frenet coincidem em
. Mostre que
e
coincidem. (Sugestão: considere a função definida por
, onde (
) é o Triedro de Frenet de
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas curvas parametrizadas por comprimento de arco que têm a mesma curvatura
, a mesma torção
e coincidem em um ponto
tanto na posição quanto no triedro de Frenet, então elas são exatamente a mesma curva. Vamos usar as equações de Frenet e uma função que mede o quanto os triedros estão “alinhados”.
Passo 2
Definimos a função
onde
é o triedro de Frenet da curva
. No instante
temos triedros idênticos, logo
Além disso, como cada produto escalar de vetores unitários satisfaz
, segue que
para todo
.
Passo 3
Para ver como
varia, usamos as equações de Frenet para ambas as curvas:
Como ambas têm a mesma
e
, ao calcular
e agrupar termos, nota-se que todas as contribuições se cancelam, ficando
.
Passo 4
Como
, a função
é constante e igual a 3 para todo
. Para alcançar a soma 3 com três somandos
, cada produto escalar deve valer exatamente 1. Assim
para todo
, ou seja, os triedros coincidem em todos os instantes.
Passo 5
Como
, segue que
e, dado que
, pela unicidade de solução de equações diferenciais (ou simplesmente integrando), concluímos
Resposta
As curvas coincidem:
para todo
.