Considere duas curvas c1, c2: R R^3 parametrizadas por comprimento de arco com a mesma curvatura, a mesma torção e tais que as curvas e os seus triedros de Frenet coincidem em t0. Mostre que c1 e c2 coincidem. (Sugestão: considere a função definida por f(t)=T1(t) cdot T2(t)+N1(t) cdot N2(t)+B1(t) cdot B2(t), onde ( Ti, Ni, Bi ) é o Triedro de Frenet de ci(i=1,2).)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas curvas parametrizadas por comprimento de arco que têm a mesma curvatura kappa, a mesma torção tau e coincidem em um ponto t0 tanto na posição quanto no triedro de Frenet, então elas são exatamente a mesma curva. Vamos usar as equações de Frenet e uma função que mede o quanto os triedros estão “alinhados”.

Passo 2

Definimos a função
f(t)=T1(t)cdot T2(t)+N1(t)cdot N2(t)+B1(t)cdot B2(t),
onde (Ti,Ni,Bi) é o triedro de Frenet da curva ci. No instante t0 temos triedros idênticos, logo
f(t0)=1+1+1=3
Além disso, como cada produto escalar de vetores unitários satisfaz
ucdot v<=1, segue que f(t)<=3 para todo t.

Passo 3

Para ver como f varia, usamos as equações de Frenet para ambas as curvas:
Ti'=kappa Ni, Ni'=-kappa Ti+tau Bi, Bi'=-tau Ni
Como ambas têm a mesma kappa e tau, ao calcular
f'(t)=ddtl(T1cdot T2 + N1cdot N2 + B1cdot B2r)
e agrupar termos, nota-se que todas as contribuições se cancelam, ficando f'(t)=0.

Passo 4

Como f'(t)=0, a função f é constante e igual a 3 para todo t. Para alcançar a soma 3 com três somandos <=1, cada produto escalar deve valer exatamente 1. Assim
T1(t)=T2(t), N1(t)=N2(t), B1(t)=B2(t)
para todo t, ou seja, os triedros coincidem em todos os instantes.

Passo 5

Como ci'(t)=Ti(t), segue que
c1'(t)=c2'(t) e, dado que c1(t0)=c2(t0), pela unicidade de solução de equações diferenciais (ou simplesmente integrando), concluímos
c1(t)=c2(t)forall t

Resposta

As curvas coincidem: c1(t)=c2(t) para todo t.

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