(Exercício 2a da lista 2 do moodle 2,5 pontos) Resolva:
y^prime=x-y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y' = x - y, que é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão y' + y = x, identificamos p(x)=1 e q(x)=x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 1,dx = e^x. A ideia é multiplicar toda a equação por mu(x) para tornar o lado esquerdo uma derivada exata.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por e^x e reconhecendo o lado esquerdo como derivada, escrevemos
ddx(e^x y) = x e^x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(e^x y),dx = integral x e^x,dx
Isso dá
$$
e^x y = x e^x - e^x + C$$,
onde e^x y = x e^x - e^x + C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y. Da equação
$$
e^x y = x e^x - e^x + C e^x y = x e^x - e^x + C
y = x - 1 + C e^{-x}$$.

Resposta

y(x) = x - 1 + C e^-x

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