(Exercício 2a da lista 2 do moodle 2,5 pontos) Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
, que é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma padrão
, identificamos
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
. A ideia é multiplicar toda a equação por
para tornar o lado esquerdo uma derivada exata.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
e reconhecendo o lado esquerdo como derivada, escrevemos
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
$$
e^x y = x e^x - e^x + C$$,
onde é a constante de integração.
onde
Passo 6
Por fim, isolamos
. Da equação
$$
e^x y = x e^x - e^x + C
y = x - 1 + C e^{-x}$$.