Considere duas empresas que se defrontam com a curva de demanda P=50-5 Q, onde \mathrm{Q}=\mathrm{Q}_{1}+\mathrm{Q}_{2}. As funções de custo da empresa são \mathrm{C}_{1}\left(\mathrm{Q}_{1}\right)=20+10 \mathrm{Q}_{1} e \mathrm{C}_{2}\left(\mathrm{Q}_{2}\right)=10+12 \mathrm{Q}_{2}. Suponha que as duas empresas tenham entrado no setor. Qual será o nível de produção conjunta capaz de maximizar os lucros? Qual quantidade cada uma produzirá? De que forma sua resposta mudaria se as empresas não tivessem entrado no setor?
Resposta:
Duas empresas (cooperando): \mathrm{Q}_{\text {Total }}=4 ; \mathrm{Q}_{1}=4 ; \mathrm{Q}_{2}=0 ; \mathrm{P}=30 ; \pi_{\text {Total }}=50
Apenas uma empresa no setor (monopólio): \mathrm{Q}_{\text {Total }}=4 ; \mathrm{Q}_{1}=4 ; \mathrm{Q}_{2}= não tem; \mathrm{P}=30 ; \pi_{\text {Total }}=60

Passo 1

O enunciado descreve duas empresas que enfrentam a curva de demanda
P = 50 - 5Q,
onde Q = Q_{1}+Q_{2}. As funções de custo são
C_{1}(Q_{1}) = 20 + 10\,Q_{1}, \quad C_{2}(Q_{2}) = 10 + 12\,Q_{2}.
Queremos primeiro encontrar o nível de produção conjunta que maximiza o lucro total (cartel) e a alocação ótima entre as duas firmas. Em seguida, veremos o caso de monopólio, isto é, se apenas uma firma entrasse.

Passo 2

Para o cartel, o lucro total é
\Pi(Q) = TR(Q) - C_{1}(Q_{1}) - C_{2}(Q_{2}),
com Q = Q_{1}+Q_{2} e
TR(Q) = P(Q)\,Q = (50 - 5Q)\,Q = 50Q - 5Q^{2}.
A receita marginal conjunta é
MR = \frac{d\,TR}{dQ} = 50 - 10Q.

Passo 3

Na otimização conjunta, igualamos MR ao custo marginal conjunto mais baixo, que é o da firma 1 MC_{1}=10 e MC_{2}=12. Logo,
50 - 10Q = 10 \quad\Longrightarrow\quad Q^{*} = 4.

Passo 4

Para minimizar custo total, a firma 1 (mais eficiente) produz todo Q^{*} e a firma 2 fica com Q_{2}=0. Assim,
Q_{1} = 4, \quad Q_{2} = 0, \quad P = 50 - 5\cdot 4 = 30.

Passo 5

Calculando o lucro total já com os custos fixos:
\Pi_{\text{total}} = P\cdot Q - \bigl[20 + 10\cdot 4\bigr] - \bigl[10 + 12\cdot 0\bigr] = 30\cdot 4 - 60 - 10 = 120 - 70 = 50.

Passo 6

Se apenas uma firma entrasse (monopólio), seria ótima a firma 1 devido ao seu custo marginal menor. Repetindo o mesmo cálculo para monopólio da firma 1:
MR = MC_{1}\quad\Longrightarrow\quad 50 - 10Q = 10 \quad\Longrightarrow\quad Q = 4,
P = 30, \quad \Pi = 30\cdot 4 - (20 + 10\cdot 4) = 120 - 60 = 60.

Resposta

No cartel (duas firmas): Q_{\text{total}}=4, Q_{1}=4, Q_{2}=0, P=30, \Pi_{\text{total}}=50.
No monopólio (uma firma): Q_{\text{total}}=4, Q_{1}=4, P=30, \Pi_{\text{total}}=60.

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