Questão 40: Um monopolista está decidindo de que forma distribuirá sua produção entre dois mercados geograficamente distantes (Norte e Sul). A demanda e a receita marginal para os dois mercados são:
\begin{array}{ll} P_{1}=15-Q_{1} & R M_{1}=15-2 Q_{1} \\\ P_{2}=25-2 Q_{2} & R M g_{2}=25-4 Q_{2} \end{array}
O custo total do monopolista é \mathrm{C}=5+3\left(\mathrm{Q}_{1}+\mathrm{Q}_{2}\right). Quais são o preço, a produção, os lucros e as receitas marginais quando:
a) O monopolista pode praticar discriminação de preço.
b) A lei proíbe a cobrança de preços diferentes nas duas regiões.
Resposta:
a) Norte: \mathrm{Q}_{1}=6 ; \mathrm{P}_{1}=\mathrm{R} \ 9,00 ; \mathrm{CMg}=\mathrm{RMg}{1}=3 ; Receita{1}=\mathrm{R} $54,00$
Sul: \mathrm{Q}_{2}=5,5 ; \mathrm{P}_{2}=\mathrm{R} \ 14,00 ; \mathrm{CMg}=\mathrm{RMg}{2}=3 ; Receita{2}=\mathrm{R} $77,00$
\mathrm{RT}=\mathrm{R} \ 131,00 ; \mathrm{CT}=\mathrm{R} $39,50 ; \pi=\mathrm{R} $ 91,50$
b) Quantidade total: 11,5
Preço único: \approx R \ 10,67$
Receita total: \approx R$ 122,70
Custo total: R$ 39,50
Lucro total: \approx \mathrm{R} \ 83,20$

Passo 1

O enunciado descreve um monopolista que atende dois mercados (Norte e Sul) com demandas
P_{1}=15-Q_{1},\quad P_{2}=25-2Q_{2}
e receitas marginais
RMg_{1}=15-2Q_{1},\quad RMg_{2}=25-4Q_{2}.
O custo total é
C=5+3\,(Q_{1}+Q_{2}),
logo o custo marginal é constante CMg=3. Precisamos determinar, em cada caso (a) discriminação de preço e (b) preço único, as quantidades ótimas, preços, receitas marginais, receitas totais, custo total e lucro.

Passo 2

Preço discriminado. Igualamos RMg_{i}=CMg=3 em cada mercado:
15 - 2Q_{1} = 3 \;\Longrightarrow\; Q_{1}=6, \quad P_{1}=15-6=9, \quad RMg_{1}=3.
25 - 4Q_{2} = 3 \;\Longrightarrow\; Q_{2}=5{,}5, \quad P_{2}=25-2\cdot5{,}5=14, \quad RMg_{2}=3.
As receitas são
R_{1}=P_{1}Q_{1}=9\cdot6=54, \quad R_{2}=P_{2}Q_{2}=14\cdot5{,}5=77,
logo a receita total é RT=54+77=131.
O custo total é
CT =5+3\,(6+5{,}5)=39{,}5,
e o lucro
\pi =RT-CT=131-39{,}5=91{,}5.

Passo 3

Preço único. Primeiro obtemos a demanda agregada:
Q =Q_{1}+Q_{2} = (15-P)+\frac{25-P}{2} = \frac{55-3P}{2} \;\Longrightarrow\; P(Q)=\frac{55-2Q}{3}.
A receita total é RT(Q)=P(Q)\,Q, e a receita marginal é
RMg = \frac{d}{dQ}\bigl(P(Q)\,Q\bigr) = \frac{55}{3} - \frac{4}{3}\,Q.
Igualando RMg=3:
\frac{55}{3} - \frac{4}{3}Q =3 \;\Longrightarrow\; Q=11{,}5, \quad P=\frac{55-2\cdot11{,}5}{3}\approx10{,}67, \quad RMg=3.
Calculamos
RT =10{,}67\cdot11{,}5\approx122{,}70, \quad CT =5+3\cdot11{,}5=39{,}5, \quad \pi =122{,}70-39{,}5\approx83{,}20.

Resposta

a) Discriminação de preço
Norte: Q_{1}=6, P_{1}=R$ 9, RMg_{1}=3, R_{1}=R$ 54.
Sul: Q_{2}=5{,}5, P_{2}=R$ 14, RMg_{2}=3, R_{2}=R$ 77. RT=R$ 131, CT=R$ 39{,}5, \pi=R$ 91{,}5.
b) Preço único Q=11{,}5, P\approxR$ 10{,}67, RMg=3, RT\approxR$ 122{,}70, CT=R$ 39{,}5, \pi\approxR$ 83{,}20.

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