Considere duas esferas metálicas principais, A e B, com raios R_{A} e R_{B} e cargas elétricas iniciais +Q_{\text {A }} e +Q_{\text {B }}, respectivamente. Há também uma sequência de n esferas metálicas idênticas, S_{1}, S_{2}, \ldots, S n, todas com raio R e inicialmente neutras. Despreze quaisquer efeitos de indução eletrostática, assumindo que as esferas estão sempre suficientemente afastadas quando não estão em contato.
Um procedimento de eletrização em etapas é realizado da seguinte forma:
  1. A esfera A toca a esfera S_{1}. Após o equilíbrio, elas são separadas.
  2. Em seguida, a esfera B toca a mesma esfera S_{1}. Após o equilíbrio, elas são separadas.
Este processo de dois passos é então repetido para a próxima esfera da sequência. Ou seja:
3. A esfera A toca a esfera S_{2}. Após o equilíbrio, elas são separadas.
4. Em seguida, a esfera B toca a mesma esfera S_{2}. Após o equilíbrio, elas são separadas.
O procedimento continua nesta ordem até que a esfera B toque a última esfera, \mathrm{S}_{\mathrm{n}}.
Deduza as expressões matemáticas para as cargas elétricas da esfera da esfera B após a conclusão de todo o processo (isto é, após B tocar Sn).

Passo 1

O enunciado dá: duas esferas metálicas principais A e B com raios R_{A} e R_{B} e cargas iniciais +Q_{A} e +Q_{B}. Há uma sequência de n esferas neutras idênticas S_{1},S_{2},\dots,S_{n}, cada uma com raio R. As esferas ficam longe umas das outras quando não estão em contato (logo podemos desprezar indução). O processo é, para cada i=1,\dots,n: primeiro A toca S_{i} (equilíbrio e separação), depois B toca S_{i} (equilíbrio e separação). O enunciado pede: a carga da esfera B após a conclusão de todo o processo, ou seja, após B tocar S_{n}.
Informações relevantes e iniciais:
\text{razios: }R_A,\;R_B,\;R;\qquad \text{cargas iniciais: }a_0=Q_A,\;b_0=Q_B.
O procedimento define para cada i uma interação A– S_i seguida de B– S_i. A tarefa é deduzir uma expressão fechada para a carga final b_n de B.

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicação didática): quando duas esferas metálicas isoladas e condutoras, de raios r_1 e r_2, com cargas iniciais q_1 e q_2, são postas em contato e depois separadas, as cargas se redistribuem até que as duas tenham o mesmo potencial elétrico. O potencial (relativo ao infinito) de uma esfera condutora de raio r com carga q é proporcional a q/r. Igualando potenciais e conservando carga total Q=q_1+q_2 obtemos:
\frac{q_1'}{r_1}=\frac{q_2'}{r_2},\qquad q_1'+q_2'=Q.
Daqui segue (derivação passo a passo):
q_1'=Q\cdot\frac{r_1}{r_1+r_2},\qquad q_2'=Q\cdot\frac{r_2}{r_1+r_2}.
Interpretação simples: cada esfera fica com uma fração da carga total proporcional ao seu raio.

Passo 3

Aplicando o resultado ao contato entre A (raio R_A) e uma esfera S (raio R) que chega neutra: se antes do contato A tem carga a e S tem 0, então após contato
\text{carga de }A = a' = a\cdot\frac{R_A}{R_A+R},\qquad \text{carga de }S = s = a\cdot\frac{R}{R_A+R}.
Para simplificar a notação, definimos constantes (fáceis de interpretar):
\alpha:=\frac{R_A}{R_A+R},\qquad \beta:=\frac{R}{R_A+R}.
Note que \alpha+\beta=1. Assim, se A entra no passo i com carga a_{i-1}, depois de tocar S_i teremos
a_i=\alpha\,a_{i-1},\qquad s_i=\beta\,a_{i-1}.
Como a_0=Q_A, iterando essa relação obtemos (mostrando o padrão)
a_i=\alpha^i Q_A\quad\text{para todo }i\ge0.
Isso significa que, a cada toque de A com uma nova esfera neutra, A perde uma fração \beta da sua carga anterior e fica com uma fração \alpha.

Passo 4

Agora o toque entre B (raio R_B) e S_i (raio R) que acabou de ser carregada com s_i. Pela mesma fórmula do Passo 2, se antes do contato B tem b_{i-1} e S_i tem s_i, depois do contato a carga final de B é
b_i = (b_{i-1}+s_i)\cdot\frac{R_B}{R_B+R}.
Definimos
\gamma:=\frac{R_B}{R_B+R},\qquad \text{(e portanto }1-\gamma=\frac{R}{R_B+R}\text{).}
Assim a relação fica
b_i=\gamma\,(b_{i-1}+s_i).

Passo 5

Substituímos s_i do Passo 3 e escrevemos a recorrência completa para b_i. Lembrando que s_i=\beta a_{i-1} e a_{i-1}=\alpha^{\,i-1}Q_A, temos
b_i=\gamma b_{i-1}+\gamma\,s_i =\gamma b_{i-1}+\gamma\beta\,\alpha^{\,i-1}Q_A.
Condição inicial: b_0=Q_B. Esta é uma recorrência linear de primeira ordem não homogênea.

Passo 6

Vamos resolver a recorrência passo a passo (método direto com soma de termos geométricos). Expandindo iterativamente:
\begin{aligned} b_1 &= \gamma b_0 + \gamma\beta\alpha^{0}Q_A,\\\ b_2 &= \gamma b_1 + \gamma\beta\alpha^{1}Q_A = \gamma^2 b_0 + \gamma^2\beta\alpha^{0}Q_A + \gamma\beta\alpha^{1}Q_A,\\\ b_3 &= \gamma b_2 + \gamma\beta\alpha^{2}Q_A = \gamma^3 b_0 + \gamma^3\beta\alpha^{0}Q_A + \gamma^2\beta\alpha^{1}Q_A + \gamma\beta\alpha^{2}Q_A, \end{aligned}
e o padrão fica claro. Para b_n obtemos
b_n=\gamma^n Q_B + \gamma\beta Q_A\sum_{j=1}^{n}\gamma^{\,n-j}\alpha^{\,j-1}.
Mudando índice para somatório em potências crescentes:
\sum_{j=1}^{n}\gamma^{\,n-j}\alpha^{\,j-1} =\gamma^{\,n-1}\sum_{k=0}^{n-1}\Big(\frac{\alpha}{\gamma}\Big)^{k}.

Passo 7

Usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica: para r\neq1,
\sum_{k=0}^{n-1}r^{k}=\frac{1-r^{n}}{1-r},
e para r=1 a soma vale n. Portanto, se \alpha\neq\gamma (caso genérico, que corresponde a R_A\neq R_B), temos
\sum_{k=0}^{n-1}\Big(\frac{\alpha}{\gamma}\Big)^{k} =\frac{1-(\alpha/\gamma)^{n}}{1-\alpha/\gamma}.
Substituindo isso em b_n do Passo 6:
\begin{aligned} b_n &=\gamma^{n}Q_B+\gamma\beta Q_A\cdot\gamma^{\,n-1}\cdot\frac{1-(\alpha/\gamma)^{n}}{1-\alpha/\gamma}\\[6pt] &=\gamma^{n}\Bigg[Q_B+\beta Q_A\cdot\frac{1-(\alpha/\gamma)^{n}}{1-\alpha/\gamma}\Bigg]. \end{aligned}
Esta é uma expressão útil e relativamente compacta. Podemos também reescrever o fator que envolve a fração para ficar só com raios, lembrando \alpha=\dfrac{R_A}{R_A+R}, \beta=\dfrac{R}{R_A+R}, \gamma=\dfrac{R_B}{R_B+R}.]

Passo 8

Tratamento do caso especial \alpha=\gamma. Observe que \alpha=\gamma ocorre exatamente quando R_A=R_B (faça a verificação por multiplicação em cruz). Se \alpha=\gamma, a fórmula da soma geométrica usada acima não vale (divisão por zero); retorna-se à etapa do somatório e usa-se \sum_{k=0}^{n-1}1 = n. Assim, para \alpha=\gamma obtemos diretamente da expansão:
b_n=\gamma^{n}Q_B+\gamma\beta Q_A\cdot n\gamma^{\,n-1} =\gamma^{n}\big(Q_B + n\beta Q_A\big).
Substituindo \gamma=\alpha=\dfrac{R_A}{R_A+R}=\dfrac{R_B}{R_B+R} e \beta=\dfrac{R}{R_A+R} (com R_A=R_B).

Passo 9

Resumo final e formas alternativas (colocando as constantes em função dos raios). Usando as definições
\alpha=\dfrac{R_A}{R_A+R},\qquad \beta=\dfrac{R}{R_A+R},\qquad \gamma=\dfrac{R_B}{R_B+R},
temos as duas situações:
  • Caso geral \alpha\neq\gamma (ou seja, R_A\neq R_B):
\boxed{\,b_n=\gamma^{n}\Biggl[Q_B+\beta Q_A\cdot\frac{1-(\alpha/\gamma)^{n}}{1-\alpha/\gamma}\Biggr]\,}.
  • Caso especial \alpha=\gamma (ou seja, R_A=R_B):
\boxed{\,b_n=\gamma^{n}\bigl(Q_B + n\beta Q_A\bigr)\,}.
Estas fórmulas dão a carga de B imediatamente após B tocar S_n, em termos das cargas iniciais e dos raios.

Resposta

\text{Se } \alpha\neq\gamma:\qquad b_n=\gamma^{n}\Biggl[Q_B+\beta Q_A\cdot\frac{1-(\alpha/\gamma)^{n}}{1-\alpha/\gamma}\Biggr]
\text{Se } \alpha=\gamma:\qquad b_n=\gamma^{n}\bigl(Q_B + n\beta Q_A\bigr)
onde \displaystyle \alpha=\frac{R_A}{R_A+R},\\ \beta=\frac{R}{R_A+R},\\ \gamma=\frac{R_B}{R_B+R}.

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