Considere duas esferas metálicas principais,
e
, com raios
e
e cargas elétricas iniciais
e
, respectivamente. Há também uma sequência de
esferas metálicas idênticas,
, todas com raio R e inicialmente neutras. Despreze quaisquer efeitos de indução eletrostática, assumindo que as esferas estão sempre suficientemente afastadas quando não estão em contato.
Um procedimento de eletrização em etapas é realizado da seguinte forma:
- A esfera A toca a esfera
. Após o equilíbrio, elas são separadas.
- Em seguida, a esfera B toca a mesma esfera
. Após o equilíbrio, elas são separadas.
Este processo de dois passos é então repetido para a próxima esfera da sequência. Ou seja:
3. A esfera
toca a esfera
. Após o equilíbrio, elas são separadas.
4. Em seguida, a esfera B toca a mesma esfera
. Após o equilíbrio, elas são separadas.
O procedimento continua nesta ordem até que a esfera B toque a última esfera,
.
Deduza as expressões matemáticas para as cargas elétricas da esfera da esfera B após a conclusão de todo o processo (isto é, após B tocar Sn).
3. A esfera
4. Em seguida, a esfera B toca a mesma esfera
Deduza as expressões matemáticas para as cargas elétricas da esfera da esfera B após a conclusão de todo o processo (isto é, após B tocar Sn).
Passo 1
O enunciado dá: duas esferas metálicas principais
e
com raios
e
e cargas iniciais
e
. Há uma sequência de
esferas neutras idênticas
, cada uma com raio
. As esferas ficam longe umas das outras quando não estão em contato (logo podemos desprezar indução). O processo é, para cada
: primeiro
toca
(equilíbrio e separação), depois
toca
(equilíbrio e separação). O enunciado pede: a carga da esfera
após a conclusão de todo o processo, ou seja, após
tocar
.
Informações relevantes e iniciais:
O procedimento define para cada
uma interação A–
seguida de B–
. A tarefa é deduzir uma expressão fechada para a carga final
de
.
Passo 2
Princípio físico que usamos (explicação didática): quando duas esferas metálicas isoladas e condutoras, de raios
e
, com cargas iniciais
e
, são postas em contato e depois separadas, as cargas se redistribuem até que as duas tenham o mesmo potencial elétrico. O potencial (relativo ao infinito) de uma esfera condutora de raio
com carga
é proporcional a
. Igualando potenciais e conservando carga total
obtemos:
Daqui segue (derivação passo a passo):
Interpretação simples: cada esfera fica com uma fração da carga total proporcional ao seu raio.
Passo 3
Aplicando o resultado ao contato entre
(raio
) e uma esfera
(raio
) que chega neutra: se antes do contato
tem carga
e
tem
, então após contato
Para simplificar a notação, definimos constantes (fáceis de interpretar):
Note que
. Assim, se
entra no passo
com carga
, depois de tocar
teremos
Como
, iterando essa relação obtemos (mostrando o padrão)
Isso significa que, a cada toque de
com uma nova esfera neutra,
perde uma fração
da sua carga anterior e fica com uma fração
.
Passo 4
Agora o toque entre
(raio
) e
(raio
) que acabou de ser carregada com
. Pela mesma fórmula do Passo 2, se antes do contato
tem
e
tem
, depois do contato a carga final de
é
Definimos
Assim a relação fica
Passo 5
Substituímos
do Passo 3 e escrevemos a recorrência completa para
. Lembrando que
e
, temos
Condição inicial:
. Esta é uma recorrência linear de primeira ordem não homogênea.
Passo 6
Vamos resolver a recorrência passo a passo (método direto com soma de termos geométricos). Expandindo iterativamente:
e o padrão fica claro. Para
obtemos
Mudando índice para somatório em potências crescentes:
Passo 7
Usamos a fórmula da soma de uma progressão geométrica: para
,
e para
a soma vale
. Portanto, se
(caso genérico, que corresponde a
), temos
Substituindo isso em
do Passo 6:
Esta é uma expressão útil e relativamente compacta. Podemos também reescrever o fator que envolve a fração para ficar só com raios, lembrando
,
,
.]
Passo 8
Tratamento do caso especial
. Observe que
ocorre exatamente quando
(faça a verificação por multiplicação em cruz). Se
, a fórmula da soma geométrica usada acima não vale (divisão por zero); retorna-se à etapa do somatório e usa-se
. Assim, para
obtemos diretamente da expansão:
Substituindo
e
(com
).
Passo 9
Resumo final e formas alternativas (colocando as constantes em função dos raios). Usando as definições
temos as duas situações:
- Caso geral
(ou seja, ):
- Caso especial
(ou seja, ):
Estas fórmulas dão a carga de
imediatamente após
tocar
, em termos das cargas iniciais e dos raios.
Resposta
onde
.