Considere três esferas condutoras A, B e C, com raios R_{A}=R, R_{B}=2 R e R_{C}=3 R, respectivamente. Inicialmente, a esfera A possui uma carga elétrica de +14 Q, enquanto as esferas B e C estão eletricamente neutras. As esferas estão suficientemente distantes umas das outras para que os efeitos de indução eletrostática possam ser desprezados. A esfera A é então colocada em contato com a esfera B e, após atingido o equilíbrio eletrostático, é separada. Em seguida, a esfera A é colocada em contato com a esfera C e novamente separada após o equilíbrio. Determine a carga elétrica final na esfera A após todos os contatos terem sido realizados.

Passo 1

O enunciado pede a carga final na esfera A após duas operações: primeiro A é colocada em contato com B e separada, depois A é colocada em contato com C e separada. Dados fornecidos:
R_A = R,\quad R_B = 2R,\quad R_C = 3R
\text{carga inicial de A: } Q_{A,\text{inicial}} = +14Q
\text{cargas iniciais de B e C: } Q_{B,\text{inicial}}=0,\quad Q_{C,\text{inicial}}=0
Sequência de contatos: (A com B) → separa, depois (A com C) → separa. Queremos a carga final de A ao fim de tudo.

Passo 2

Conceitos físicos essenciais (explicados passo a passo):
  1. Conservação de carga: quando duas esferas condutoras isoladas são colocadas em contato, a soma das cargas antes do contato é igual à soma das cargas depois do contato, porque não há perda de carga para o resto do mundo. Em fórmula, se antes as cargas eram Q_1 e Q_2, então depois Q'_1+Q'_2 = Q_1+Q_2.
  2. Equilíbrio eletrostático ao contatar: ao tocarem, os condutores atingem o mesmo potencial elétrico V. Para uma esfera condutora isolada e distante de outros objetos, o potencial na superfície é proporcional à razão carga/raio:
V = k\frac{Q}{R},
onde k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é uma constante. Como k é igual nas duas esferas, a condição V_1=V_2 implica
\frac{Q'_1}{R_1}=\frac{Q'_2}{R_2}.
Isso significa que, após o contato, as cargas ficam proporcionais aos respectivos raios. Vou usar essas duas ideias (conservação de carga e igualdade de Q/R) para cada contato.

Passo 3

Contato entre A e B (primeiro contato).
Defina as cargas após o primeiro contato como \,Q_{A1} para A e \,Q_{B1} para B. Aplicando conservação de carga:
Q_{A1}+Q_{B1}=14Q.
Aplicando igualdade de potencial ( Q/R igual):
\frac{Q_{A1}}{R}=\frac{Q_{B1}}{2R}.
Da última equação obtemos:
Q_{B1}=2Q_{A1}.
Substituindo na conservação de carga:
Q_{A1}+2Q_{A1}=14Q \quad\Rightarrow\quad 3Q_{A1}=14Q.
Logo,
Q_{A1}=\frac{14}{3}Q.

Passo 4

Computando a carga de B após o primeiro contato (apenas para checar e ajudar na intuição):
Q_{B1}=2Q_{A1}=2\cdot\frac{14}{3}Q=\frac{28}{3}Q.
Após separar, a esfera A fica com \,Q_{A1}=\dfrac{14}{3}Q, que será a carga inicial para o próximo contato com C.

Passo 5

Contato entre A e C (segundo contato).
Defina as cargas após o segundo contato como \,Q_{A2} para A e \,Q_{C2} para C. Conservação de carga (total que se distribui é a carga que A tinha antes do contato):
Q_{A2}+Q_{C2}=\frac{14}{3}Q.
Igualdade de potencial entre A e C:
\frac{Q_{A2}}{R}=\frac{Q_{C2}}{3R}.
Da igualdade de potencial vem:
Q_{C2}=3Q_{A2}.
Substituindo na conservação de carga:
Q_{A2}+3Q_{A2}=\frac{14}{3}Q \quad\Rightarrow\quad 4Q_{A2}=\frac{14}{3}Q.
Logo,
Q_{A2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{14}{3}Q=\frac{14}{12}Q=\frac{7}{6}Q.

Passo 6

Checagem rápida (opcional, mas útil para confiar no resultado): então Q_{C2}=3Q_{A2}=3\cdot\frac{7}{6}Q=\frac{7}{2}Q. Soma Q_{A2}+Q_{C2}=\frac{7}{6}Q+\frac{7}{2}Q=\frac{7}{6}Q+\frac{21}{6}Q=\frac{28}{6}Q=\frac{14}{3}Q, que bate com a carga disponível antes do contato A–C. Tudo consistente.

Resposta

\dfrac{7}{6}Q

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