Considere três esferas condutoras
e
, com raios
e
, respectivamente. Inicialmente, a esfera A possui uma carga elétrica de +14 Q, enquanto as esferas B e C estão eletricamente neutras. As esferas estão suficientemente distantes umas das outras para que os efeitos de indução eletrostática possam ser desprezados. A esfera A é então colocada em contato com a esfera B e, após atingido o equilíbrio eletrostático, é separada. Em seguida, a esfera A é colocada em contato com a esfera C e novamente separada após o equilíbrio. Determine a carga elétrica final na esfera A após todos os contatos terem sido realizados.
Passo 1
O enunciado pede a carga final na esfera A após duas operações: primeiro A é colocada em contato com B e separada, depois A é colocada em contato com C e separada. Dados fornecidos:
Sequência de contatos: (A com B) → separa, depois (A com C) → separa. Queremos a carga final de A ao fim de tudo.
Passo 2
Conceitos físicos essenciais (explicados passo a passo):
-
Conservação de carga: quando duas esferas condutoras isoladas são colocadas em contato, a soma das cargas antes do contato é igual à soma das cargas depois do contato, porque não há perda de carga para o resto do mundo. Em fórmula, se antes as cargas eram
e , então depois . -
Equilíbrio eletrostático ao contatar: ao tocarem, os condutores atingem o mesmo potencial elétrico
. Para uma esfera condutora isolada e distante de outros objetos, o potencial na superfície é proporcional à razão carga/raio:
onde
é uma constante. Como
é igual nas duas esferas, a condição
implica
Isso significa que, após o contato, as cargas ficam proporcionais aos respectivos raios. Vou usar essas duas ideias (conservação de carga e igualdade de
) para cada contato.
Passo 3
Contato entre A e B (primeiro contato).
Defina as cargas após o primeiro contato como para A e
para B. Aplicando conservação de carga:
Defina as cargas após o primeiro contato como
Aplicando igualdade de potencial (
igual):
Da última equação obtemos:
Substituindo na conservação de carga:
Logo,
Passo 4
Computando a carga de B após o primeiro contato (apenas para checar e ajudar na intuição):
Após separar, a esfera A fica com
, que será a carga inicial para o próximo contato com C.
Passo 5
Contato entre A e C (segundo contato).
Defina as cargas após o segundo contato como para A e
para C. Conservação de carga (total que se distribui é a carga que A tinha antes do contato):
Defina as cargas após o segundo contato como
Igualdade de potencial entre A e C:
Da igualdade de potencial vem:
Substituindo na conservação de carga:
Logo,
Passo 6
Checagem rápida (opcional, mas útil para confiar no resultado): então
. Soma
, que bate com a carga disponível antes do contato A–C. Tudo consistente.