Uma fina casca esférica condutora de raio R é carregada uniformemente com uma carga total Q. Por integração direta encontre o potencial em um ponto sobre o eixo z
(a) dentro da casca

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica condutora fina de raio R, carregada uniformemente com carga total Q. Pede-se: encontre, por integração direta, o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo z que está dentro da casca (ou seja, para um ponto com coordenada z tal que 0\le z<R).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Raio: }R,\qquad \text{Carga total na casca: }Q,\qquad \text{ponto de interesse sobre o eixo }z\text{ com }0\le z<R.
A casca é condutora e a carga está distribuída uniformemente sobre a superfície (densidade superficial constante). A resolução pedida deve ser feita por integração direta das contribuições de elementos de carga da superfície.

Passo 2

Vamos escrever a expressão integral para o potencial gerado por uma distribuição superficial de carga. A contribuição diferencial de potencial, em um ponto \mathbf{r}, de um elemento de área dA' com densidade superficial \sigma localizado em \mathbf{r}' é
dV(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\sigma\,dA'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}.
Aqui:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo;
  • \sigma é a densidade superficial de carga na casca (constante porque a carga é uniforme);
  • |\mathbf{r}-\mathbf{r}'| é a distância entre o ponto onde calculamos o potencial e o elemento de superfície que contribui;
  • A integral sobre a superfície total dará o potencial total:
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\text{superf}} \frac{\sigma\,dA'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}.
Como a carga total é Q e a área da casca é 4\pi R^2, a densidade superficial é
\sigma=\frac{Q}{4\pi R^2}.

Passo 3

Escolhemos coordenadas esféricas para parametrizar a superfície da casca e colocamos o ponto onde queremos o potencial sobre o eixo z a uma distância z do centro (com 0\le z<R). Um elemento de área da superfície esférica escrito em ângulos \theta (colatitude, medido a partir do eixo z) e \varphi (azimute) é
dA' = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
A distância entre o ponto sobre o eixo z e o elemento da superfície situado em (R,\theta,\varphi) é, por lei dos cossenos,
|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| = \sqrt{R^2 + z^2 - 2Rz\cos\theta}.
Substituindo tudo na integral e integrando primeiro em \varphi (simetria azimutal) obtemos um fator 2\pi:
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\sigma\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\frac{R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi}{\sqrt{R^2+z^2-2Rz\cos\theta}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\sigma\,2\pi R^2\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\theta\,d\theta}{\sqrt{R^2+z^2-2Rz\cos\theta}}.

Passo 4

Para resolver a integral em \theta faça a substituição u=\cos\theta, portanto du=-\sin\theta\,d\theta. Os limites mudam: \theta=0\Rightarrow u=1 e \theta=\pi\Rightarrow u=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\theta\,d\theta}{\sqrt{R^2+z^2-2Rz\cos\theta}} =\int_{u=1}^{u=-1}\frac{-du}{\sqrt{R^2+z^2-2Rz\,u}} =\int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{R^2+z^2-2Rz\,u}}.
Para simplificar a notação coloque
a=R^2+z^2,\qquad b=2Rz,
de modo que a integral fica
I=\int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{a-bu}}.
Agora faça a substituição s=a-bu, então ds=-b\,du, e quando u=-1 temos s=a+b, quando u=1 temos s=a-b. Portanto
I=\int_{u=-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{a-bu}} =\frac{1}{b}\int_{s=a-b}^{s=a+b} s^{-1/2}\,ds =\frac{1}{b}\left[2s^{1/2}\right]_{s=a-b}^{s=a+b} =\frac{2}{b}\Big(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}\Big).
Reescrevendo a\pm b em termos de R e z,
a\pm b=R^2+z^2\pm 2Rz=(R\pm z)^2,
portanto \sqrt{a+b}=R+z e \sqrt{a-b}=|R-z|. Para o caso interno 0\le z<R temos |R-z|=R-z. Assim
I=\frac{2}{2Rz}\big((R+z)-(R-z)\big)=\frac{2}{2Rz}\cdot 2z=\frac{2}{R}.

Passo 5

Voltemos ao potencial. Tínhamos
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\sigma\,2\pi R^2\;I.
Substituindo I=\dfrac{2}{R} e \sigma=\dfrac{Q}{4\pi R^2} obtemos
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{4\pi R^2}\cdot 2\pi R^2\cdot\frac{2}{R}.
Simplificando os fatores:
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{4\pi R^2}\cdot\frac{4\pi R^2}{R} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{R}.
Note que o resultado não depende de z (para 0\le z<R): o potencial dentro da casca é constante e igual ao potencial na superfície.

Resposta

V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R}\quad\text{para }0\le z<R

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