Uma fina casca esférica condutora de raio R é carregada uniformemente com uma carga total Q. Por integração direta encontre o potencial em um ponto sobre o eixo
(a) dentro da casca
(a) dentro da casca
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica condutora fina de raio
, carregada uniformemente com carga total
. Pede-se: encontre, por integração direta, o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo
que está dentro da casca (ou seja, para um ponto com coordenada
tal que
).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A casca é condutora e a carga está distribuída uniformemente sobre a superfície (densidade superficial constante). A resolução pedida deve ser feita por integração direta das contribuições de elementos de carga da superfície.
Passo 2
Vamos escrever a expressão integral para o potencial gerado por uma distribuição superficial de carga. A contribuição diferencial de potencial, em um ponto
, de um elemento de área
com densidade superficial
localizado em
é
Aqui:
-
é a permissividade do vácuo; -
é a densidade superficial de carga na casca (constante porque a carga é uniforme); -
é a distância entre o ponto onde calculamos o potencial e o elemento de superfície que contribui; - A integral sobre a superfície total dará o potencial total:
Como a carga total é
e a área da casca é
, a densidade superficial é
Passo 3
Escolhemos coordenadas esféricas para parametrizar a superfície da casca e colocamos o ponto onde queremos o potencial sobre o eixo
a uma distância
do centro (com
). Um elemento de área da superfície esférica escrito em ângulos
(colatitude, medido a partir do eixo
) e
(azimute) é
A distância entre o ponto sobre o eixo
e o elemento da superfície situado em
é, por lei dos cossenos,
Substituindo tudo na integral e integrando primeiro em
(simetria azimutal) obtemos um fator
:
Passo 4
Para resolver a integral em
faça a substituição
, portanto
. Os limites mudam:
e
. Assim
Para simplificar a notação coloque
de modo que a integral fica
Agora faça a substituição
, então
, e quando
temos
, quando
temos
. Portanto
Reescrevendo
em termos de
e
,
portanto
e
. Para o caso interno
temos
. Assim
Passo 5
Voltemos ao potencial. Tínhamos
Substituindo
e
obtemos
Simplificando os fatores:
Note que o resultado não depende de
(para
): o potencial dentro da casca é constante e igual ao potencial na superfície.