Considere as duas funções abaixo, definidas em D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} /(x, y) \neq(0,0)\right\}
f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \text { e } g(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+x y+x+y}
Agora, considere a funçāo g(x, y). Verifique se o limite existe quando (x, y) \rightarrow(0,0). Apresente seus cálculos e raciocínio com clareza.

Passo 1

O enunciado pede verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)
existe, onde
g(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+x y+x+y}
definida em D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid (x,y)\neq(0,0)\}.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis; uma forma eficiente de ver se o valor é independente da direção de aproximação é usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta,
onde r>0 e (r,\theta)\to(0,\theta) corresponde a (x,y)\to(0,0). Substituímos essas expressões em g(x,y).

Passo 3

Substituindo em g, obtemos
g(r\cos\theta,r\sin\theta) = \frac{r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\bigr)} {r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta + \cos\theta\,\sin\theta\bigr) + r\bigl(\cos\theta + \sin\theta\bigr)}.

Passo 4

No denominador podemos fatorar um r:
g(r\cos\theta,r\sin\theta) = \frac{r^{2}(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta)} {r\bigl[r(\cos^{2}\theta + \cos\theta\,\sin\theta)+(\cos\theta+\sin\theta)\bigr]} = \frac{r(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta)} {r(\cos^{2}\theta + \cos\theta\,\sin\theta)+(\cos\theta+\sin\theta)}.
Quando r\to0, o termo r(\cos^{2}\theta + \cos\theta\,\sin\theta)\to0, e o fator \cos\theta+\sin\theta permanece constante e não nulo (pois o domínio exclui pontos onde \cos\theta+\sin\theta=0).
Logo
\lim_{r\to0}g(r\cos\theta,r\sin\theta) = \frac{0}{\cos\theta + \sin\theta} = 0.

Passo 5

Vimos que, para qualquer direção de aproximação (exceto aquelas em que o denominador seria zero, que não fazem parte do domínio), o valor de g(x,y) tende a 0. Portanto o limite existe e é independente de \theta.

Resposta

O limite existe e vale
0.

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