Considere as duas funções abaixo, definidas em
Agora, considere a funçāo
. Verifique se o limite existe quando
. Apresente seus cálculos e raciocínio com clareza.
Passo 1
O enunciado pede verificar se
existe, onde
definida em
.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis; uma forma eficiente de ver se o valor é independente da direção de aproximação é usar coordenadas polares.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis; uma forma eficiente de ver se o valor é independente da direção de aproximação é usar coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares, fazemos
onde
e
corresponde a
. Substituímos essas expressões em
.
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
Passo 4
No denominador podemos fatorar um
:
Quando
, o termo
, e o fator
permanece constante e não nulo (pois o domínio exclui pontos onde
).
Logo
Logo
Passo 5
Vimos que, para qualquer direção de aproximação (exceto aquelas em que o denominador seria zero, que não fazem parte do domínio), o valor de
tende a
. Portanto o limite existe e é independente de
.
Resposta
O limite existe e vale