(Vale: 1,0 ) Considere a função:
f(x, y)=\ln \left(9-x^{2}-y^{2}\right)
(a) Determine e esboce o domínio da função no plano x y
(b) Faça 3 curvas de nível dessa função.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\ln\bigl(9 - x^2 - y^2\bigr)
e pede duas coisas:
a) o domínio de f no plano xy, e
b) três curvas de nível de f.
Para isso vamos usar a propriedade de que o logaritmo natural só está definido quando o argumento é estritamente positivo, e depois resolver a equação de nível \ln(9 - x^2 - y^2)=k.

Passo 2

Como \ln(t) só existe para t>0, impomos
9 - x^2 - y^2 > 0.
Rearranjando, isso dá
x^2 + y^2 < 9.

Passo 3

A desigualdade x^2 + y^2 < 9 descreve o interior de um círculo de raio 3 centrado na origem, sem incluir a fronteira.
No esboço, basta desenhar um círculo centrado em (0,0) de raio 3 e sombrear todo o interior, indicando que é aberto (por exemplo, sem contorno fechado ou com tracejado).

Passo 4

Para as curvas de nível, fixamos um valor k qualquer e resolvemos
\ln\bigl(9 - x^2 - y^2\bigr)=k.
Aplicando exponencial dos dois lados:
9 - x^2 - y^2 = e^{\,k} \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 = 9 - e^{\,k}.
Cada valor de k (menor que \ln 9) gera uma circunferência centrada na origem de raio
r = \sqrt{9 - e^{\,k}}.

Passo 5

Escolhemos três níveis bem espaçados, todos menores que \ln 9:
1. k_1 = \ln 8 2. k_2 = \ln 5 3. k_3 = \ln 1 = 0
Para cada um:
  • k_1 = \ln 8; \Rightarrow; r_1 = \sqrt{9 - 8} = 1.
  • k_2 = \ln 5; \Rightarrow; r_2 = \sqrt{9 - 5} = 2.
  • k_3 = 0; \Rightarrow; r_3 = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Passo 6

Portanto, as três curvas de nível são as circunferências
x^2 + y^2 = 1, \quad x^2 + y^2 = 4, \quad x^2 + y^2 = 8,
todas centradas na origem. No esboço, basta desenhar essas três circunferências dentro do disco de raio 3.

Resposta

a) O domínio de f é
\{(x,y)\mid x^2 + y^2 < 9\},
isto é, o interior do círculo de raio 3 centrado na origem.
b) Três curvas de nível são, por exemplo,
\begin{cases} f(x,y)=\ln 8&\Rightarrow x^2+y^2=1,\\\ f(x,y)=\ln 5&\Rightarrow x^2+y^2=4,\\\ f(x,y)=0&\Rightarrow x^2+y^2=8. \end{cases}

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