(Vale: 1,5) Uma superfície inclinada foi concretada com a forma aproximada descrita pela função:
z=f(x, y)=3 x^{2} y-y^{3}+2
Com base nessa expressão, responda às seguintes questões:
(a) Calcule as derivadas parciais f_{x} e f_{y}
(b) Avalie essas derivadas no ponto P=(1,1) e interprete seus significados em relaçã à inclinação da superície nesse ponto.
(c) Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
z = f(x,y) = 3x^{2}y - y^{3} + 2
e pede (a) as derivadas parciais, (b) essas derivadas em P=(1,1) com interpretação geométrica das inclinações e (c) a equação do plano tangente nesse ponto. Para isso vamos usar as definições de derivada parcial e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Para encontrar as derivadas parciais, tratamos uma variável como constante e derivamos em relação à outra.
f_{x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y - y^{3} + 2\bigr) = 6x\,y.
f_{y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y - y^{3} + 2\bigr) = 3x^{2} - 3y^{2}.

Passo 3

Avaliaremos em P=(1,1):
f_{x}(1,1) = 6\cdot1\cdot1 = 6,
f_{y}(1,1) = 3\cdot1^{2} - 3\cdot1^{2} = 3 - 3 = 0.
Interpretação: f_{x}(1,1)=6 indica que, mantendo y=1 fixo, ao avançar uma unidade em x a altura z aumenta em 6. Já f_{y}(1,1)=0 diz que, mantendo x=1 fixo, pequenas variações em y não mudam z naquele ponto.

Passo 4

O ponto na superfície é (1,1,f(1,1)). Calculamos
f(1,1) = 3\cdot1^{2}\cdot1 - 1^{3} + 2 = 3 - 1 + 2 = 4.
A equação do plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,4) é
z - z_{0} = f_{x}(1,1)\,(x - 1) + f_{y}(1,1)\,(y - 1).
Substituindo:
z - 4 = 6\,(x - 1) + 0\,(y - 1),
que se simplifica para
z = 6x - 2.

Resposta

(a) f_{x}(x,y)=6xy e f_{y}(x,y)=3x^{2}-3y^{2}.
(b) f_{x}(1,1)=6 (inclinação na direção x) e f_{y}(1,1)=0 (nenhuma variação de z na direção y).
(c) z = 6x - 2.

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