(Vale: 1,5) Uma superfície inclinada foi concretada com a forma aproximada descrita pela função:
Com base nessa expressão, responda às seguintes questões:
(a) Calcule as derivadas parciais
e
(b) Avalie essas derivadas no ponto
e interprete seus significados em relaçã à inclinação da superície nesse ponto.
(c) Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
(a) Calcule as derivadas parciais
(b) Avalie essas derivadas no ponto
(c) Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede (a) as derivadas parciais, (b) essas derivadas em
com interpretação geométrica das inclinações e (c) a equação do plano tangente nesse ponto. Para isso vamos usar as definições de derivada parcial e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Para encontrar as derivadas parciais, tratamos uma variável como constante e derivamos em relação à outra.
Passo 3
Avaliaremos em
:
Interpretação:
indica que, mantendo
fixo, ao avançar uma unidade em
a altura
aumenta em 6. Já
diz que, mantendo
fixo, pequenas variações em
não mudam
naquele ponto.
Passo 4
O ponto na superfície é
. Calculamos
A equação do plano tangente em
é
Substituindo:
que se simplifica para
Resposta
(a)
e
.
(b) (inclinação na direção
) e
(nenhuma variação de
na direção
).
(c) .
(b)
(c)