Considere as duas interpretações seguintes, nas quais os valores lógicos das proposições p e q são, respectivamente, na \mathrm{I}_{1}: 0 e 0 e na \mathrm{I}_{2}: 1 e 1 , determine os valores lógico da proposição seguinte, nas interpretações \mathrm{I}_{1} e \mathrm{I}_{2}.
(\mathrm{p} \wedge(\neg \mathrm{q} \rightarrow \mathrm{p})) \wedge \neg((\mathrm{p} \leftrightarrow\urcorner \mathrm{q}) \rightarrow(\mathrm{q} \vee \neg \mathrm{p})).

Passo 1

O enunciado dá duas interpretações e pede para avaliar a proposição
\bigl(p \wedge (\neg q \rightarrow p)\bigr) \wedge \neg\bigl((p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow (q \vee \neg p)\bigr)
nas interpretações:
  • \mathrm{I}_1: p=0 e q=0.
  • \mathrm{I}_2: p=1 e q=1.
O que precisamos fornecer são os valores lógicos (0 ou 1) da proposição para \mathrm{I}_1 e para \mathrm{I}_2.

Passo 2

Para avaliar a fórmula passo a passo, lembrando as regras básicas dos conectivos (vou explicar do jeito mais direto):
  • Negação: \neg A vale 1 quando A=0 e vale 0 quando A=1.
  • Conjunção: A \wedge B vale 1 somente se A=1 e B=1; caso contrário vale 0.
  • Disjunção: A \vee B vale 1 se pelo menos um dos A,B vale 1; só vale 0 se ambos são 0.
  • Implicação: A \rightarrow B vale 0 só no caso A=1 e B=0; em todas as outras combinações vale 1.
  • Bicondicional: A \leftrightarrow B vale 1 quando A e B têm o mesmo valor (ambos 0 ou ambos 1); vale 0 quando são diferentes.
Estratégia prática: calcular os valores dos subfórmulas mais internas primeiro (tipo \neg q, depois \neg q \rightarrow p, etc.), e ir subindo até a fórmula inteira.

Passo 3

  1. Calcular \neg q. Como q=0,
\neg q = 1.
  1. Calcular \neg q \rightarrow p. Aqui o antecedente é \neg q = 1 e o consequente é p=0. Pelo caso da implicação 1 \rightarrow 0 é o único caso que dá 0. Logo,
\neg q \rightarrow p = 0.
  1. Calcular p \wedge (\neg q \rightarrow p). Como p=0 e \neg q \rightarrow p = 0, a conjunção 0 \wedge 0 vale 0. Portanto
p \wedge (\neg q \rightarrow p) = 0.
  1. Calcular p \leftrightarrow \neg q. Temos p=0 e \neg q=1; são valores diferentes, então o bicondicional vale 0:
p \leftrightarrow \neg q = 0.
  1. Calcular q \vee \neg p. Sabendo q=0 e p=0 implica \neg p=1, então q \vee \neg p = 0 \vee 1 = 1. Assim
q \vee \neg p = 1.
  1. Calcular (p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow (q \vee \neg p). Aqui o antecedente é 0 e o consequente é 1. Qualquer implicação com antecedente 0 vale 1. Logo
(p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow (q \vee \neg p) = 1.
  1. Calcular a negação dessa implicação: \neg\bigl((p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow (q \vee \neg p)\bigr). Como o valor anterior é 1,
\neg\bigl((p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow (q \vee \neg p)\bigr) = 0.
  1. Finalmente, a conjunção entre o resultado do passo 3 e do passo 7:
\bigl(p \wedge (\neg q \rightarrow p)\bigr) \wedge \neg\bigl((p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow (q \vee \neg p)\bigr) = 0 \wedge 0 = 0.
Portanto, na interpretação \mathrm{I}_1 a proposição vale 0.

Passo 4

  1. Calcular \neg q. Como q=1,
\neg q = 0.
  1. Calcular \neg q \rightarrow p. Aqui antecedente \neg q=0 e consequente p=1. Uma implicação com antecedente 0 vale 1. Logo
\neg q \rightarrow p = 1.
  1. Calcular p \wedge (\neg q \rightarrow p). Como p=1 e \neg q \rightarrow p = 1, a conjunção 1 \wedge 1 vale 1. Portanto
p \wedge (\neg q \rightarrow p) = 1.
  1. Calcular p \leftrightarrow \neg q. Temos p=1 e \neg q=0; são diferentes, então
p \leftrightarrow \neg q = 0.
  1. Calcular q \vee \neg p. Sabendo q=1 e p=1 implica \neg p=0, então q \vee \neg p = 1 \vee 0 = 1. Assim
q \vee \neg p = 1.
  1. Calcular (p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow (q \vee \neg p). Antecedente 0, consequente 1; novamente 0 \rightarrow 1 = 1. Logo
(p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow (q \vee \neg p) = 1.
  1. Negar esse resultado:
\neg\bigl((p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow (q \vee \neg p)\bigr) = \neg 1 = 0.
  1. Conjunção final:
\bigl(p \wedge (\neg q \rightarrow p)\bigr) \wedge \neg\bigl((p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow (q \vee \neg p)\bigr) = 1 \wedge 0 = 0.
Portanto, na interpretação \mathrm{I}_2 a proposição também vale 0.

Resposta

\mathrm{I}_1: 0
\mathrm{I}_2: 0

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