Realize a avaliação semântica das sentenças a seguir, classificando-as em uma das categorias: Tautologia, Contradição e Satisfatível, exibindo o passo a passo que justifique sua resposta.
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Passo 1
O enunciado pede que eu faça a avaliação semântica da fórmula e a classifique em uma das categorias: Tautologia, Contradição ou Satisfatível.
A fórmula dada é
Informações relevantes fornecidas:
- As proposições atômicas envolvidas são
, e . - A tarefa é decidir se a fórmula é verdadeira em todas as valorações (Tautologia), falsa em todas (Contradição) ou verdadeira em pelo menos uma valoração (Satisfatível).
Passo 2
Vou recordar alguns conceitos e equivalências semânticas essenciais (isto é útil para a prova e evita construir tabela de verdade inteira):
-
Definições:
- Uma fórmula é Tautologia se for verdadeira em toda valoração dos átomos.
- Uma fórmula é Contradição se for falsa em toda valoração.
- Uma fórmula é Satisfatível se existe pelo menos uma valoração que a torna verdadeira.
-
Equivalência lógica padrão que vou usar:
- Para quaisquer fórmulas
e , Essa equivalência é fundamental: a implicação significa “ou não A, ou B”.
- Para quaisquer fórmulas
Passo 3
Transformo o antecedente
usando a equivalência da implicação:
Primeiro transformar cada implicação:
Então o antecedente vira
Usando associatividade e comutatividade da
e a idempotência (duplicatas não importam), podemos reorganizar e simplificar:
Logo, o antecedente é equivalente à fórmula
Passo 4
Agora transformo o consequente
pela mesma equivalência:
Aplicando a Lei de De Morgan em
:
Portanto o consequente também se reduz a
Ou seja, o consequente é exatamente a mesma fórmula
definida antes.
Passo 5
Concluímos que tanto o antecedente quanto o consequente são logicamente equivalentes à mesma fórmula
Assim a fórmula original é equivalente a
Mas para qualquer fórmula
vale que
é sempre verdadeira (pelo significado da implicação:
, que é a forma do terceiro excluído sobre
). Formalmente,
e
é uma tautologia (é verdadeira em toda valoração).
Logo a fórmula dada é verdadeira para toda valoração das proposições
.
Passo 6
Interpretação final e comentários (para prova): como a fórmula é verdadeira em todas as valorações, ela é uma Tautologia. Isso também implica que ela é satisfatível (todas as valorações satisfazem), e não é uma contradição (pois contradição seria falsa em todas).
Resposta
Tautologia