Realize a avaliação semântica das sentenças a seguir, classificando-as em uma das categorias: Tautologia, Contradição e Satisfatível, exibindo o passo a passo que justifique sua resposta.
((\mathrm{S} \rightarrow \mathrm{P}) v (\mathrm{D} \rightarrow \mathrm{P})) \rightarrow((\mathrm{S} \wedge \mathrm{D}) \rightarrow \mathrm{P})

Passo 1

O enunciado pede que eu faça a avaliação semântica da fórmula e a classifique em uma das categorias: Tautologia, Contradição ou Satisfatível.
A fórmula dada é
\big((\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{P}) \vee (\mathrm{D}\rightarrow \mathrm{P})\big) \rightarrow \big((\mathrm{S}\wedge \mathrm{D}) \rightarrow \mathrm{P}\big).
Informações relevantes fornecidas:
  • As proposições atômicas envolvidas são \mathrm{S}, \mathrm{D} e \mathrm{P}.
  • A tarefa é decidir se a fórmula é verdadeira em todas as valorações (Tautologia), falsa em todas (Contradição) ou verdadeira em pelo menos uma valoração (Satisfatível).

Passo 2

Vou recordar alguns conceitos e equivalências semânticas essenciais (isto é útil para a prova e evita construir tabela de verdade inteira):
  • Definições:
    • Uma fórmula é Tautologia se for verdadeira em toda valoração dos átomos.
    • Uma fórmula é Contradição se for falsa em toda valoração.
    • Uma fórmula é Satisfatível se existe pelo menos uma valoração que a torna verdadeira.
  • Equivalência lógica padrão que vou usar:
    • Para quaisquer fórmulas A e B, A \rightarrow B \quad\text{é logicamente equivalente a}\quad \neg A \vee B.éEssa equivalência é fundamental: a implicação significa “ou não A, ou B”.

Passo 3

Transformo o antecedente (\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{P}) \vee (\mathrm{D}\rightarrow \mathrm{P}) usando a equivalência da implicação:
Primeiro transformar cada implicação:
\mathrm{S}\rightarrow \mathrm{P} \equiv \neg \mathrm{S} \vee \mathrm{P}, \qquad \mathrm{D}\rightarrow \mathrm{P} \equiv \neg \mathrm{D} \vee \mathrm{P}.
Então o antecedente vira
(\neg \mathrm{S} \vee \mathrm{P}) \vee (\neg \mathrm{D} \vee \mathrm{P}).
Usando associatividade e comutatividade da \vee e a idempotência (duplicatas não importam), podemos reorganizar e simplificar:
(\neg \mathrm{S} \vee \mathrm{P}) \vee (\neg \mathrm{D} \vee \mathrm{P}) \equiv \neg \mathrm{S} \vee \neg \mathrm{D} \vee \mathrm{P}.
Logo, o antecedente é equivalente à fórmula
A \equiv \neg \mathrm{S} \vee \neg \mathrm{D} \vee \mathrm{P}.

Passo 4

Agora transformo o consequente (\mathrm{S}\wedge \mathrm{D}) \rightarrow \mathrm{P} pela mesma equivalência:
(\mathrm{S}\wedge \mathrm{D}) \rightarrow \mathrm{P} \equiv \neg(\mathrm{S}\wedge \mathrm{D}) \vee \mathrm{P}.
Aplicando a Lei de De Morgan em \neg(\mathrm{S}\wedge \mathrm{D}):
\neg(\mathrm{S}\wedge \mathrm{D}) \equiv \neg \mathrm{S} \vee \neg \mathrm{D}.
Portanto o consequente também se reduz a
\neg \mathrm{S} \vee \neg \mathrm{D} \vee \mathrm{P}.
Ou seja, o consequente é exatamente a mesma fórmula A definida antes.

Passo 5

Concluímos que tanto o antecedente quanto o consequente são logicamente equivalentes à mesma fórmula
A \equiv \neg \mathrm{S} \vee \neg \mathrm{D} \vee \mathrm{P}.
Assim a fórmula original é equivalente a
A \rightarrow A.
Mas para qualquer fórmula A vale que A \rightarrow A é sempre verdadeira (pelo significado da implicação: \neg A \vee A, que é a forma do terceiro excluído sobre A). Formalmente,
A \rightarrow A \equiv \neg A \vee A,
e \neg A \vee A é uma tautologia (é verdadeira em toda valoração).
Logo a fórmula dada é verdadeira para toda valoração das proposições \mathrm{S},\mathrm{D},\mathrm{P}.

Passo 6

Interpretação final e comentários (para prova): como a fórmula é verdadeira em todas as valorações, ela é uma Tautologia. Isso também implica que ela é satisfatível (todas as valorações satisfazem), e não é uma contradição (pois contradição seria falsa em todas).

Resposta

Tautologia

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