No Exemplo 2, a constante de decaimento para o isótopo
foi
, o que se expressa no expoente do termo da taxa
. Quando a constante de decaimento para
é
, vemos que, na Fórmula (14) para
, o termo (185/4)
acaba dominando (tem maior magnitude para
grande).
(b) Refaça o Exemplo 2 considerando
.
(b) Refaça o Exemplo 2 considerando
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Repetir o Exemplo 2 supondo que a constante de decaimento para
é .
Informações relevantes fornecidas (ou inferidas do texto que você deu):
- A constante de decaimento do isótopo
é . - No enunciado original apareceu um termo da taxa
; vou interpretar esse termo como o forçamento (termo de entrada) que aparece na equação diferencial de (quantidade de em kg). Ou seja, o segundo membro da equação é . - Na solução original com
a fórmuala (14) continha o termo . A partir disso é consistente inferir que a condição inicial usada lá era (pois com a solução conveniente se escreve e dá ). Vou assumir a mesma condição inicial para refazer o exemplo com . Se a condição inicial do seu problema for outra, diga-a depois; aqui não vou pedir — apenas aviso que estou supondo .
Observação: se alguma dessas interpretações estiver errada (por exemplo o termo
representa outra coisa), a solução numérica mudará. Vou prosseguir com as hipóteses acima porque são consistentes com os valores mencionados.
Passo 2
Qual é o modelo e o método a usar:
- O modelo que vamos resolver é a equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficientes constantes e um forçamento exponencial:
com condição inicial presumida
- Método: usar método dos coeficientes indeterminados (ou fator integrante). Vou mostrar ambos os casos:
(caso não-resonante, só para entendimento) e o caso especial (resonante), que é o que interessa aqui. Explico por que o caso é especial: o forçamento tem a mesma taxa exponencial que a solução homogênea ( ), então a tentativa usual falha e é preciso multiplicar por , ou seja, tentar .
Passo 3
Resolver o caso geral não-resonante (
) — aula rápida sobre o procedimento:
- Para forçamento
tenta-se uma solução particular da forma (constante a determinar). - Diferenciando:
- Substituindo na equação:
- Cancelando
(não nulo) obtemos
- Logo, a solução geral é
onde
é fixado pela condição inicial
:
- Observação didática: isso vale apenas para
. Se estiver muito próximo de 10, a componente particular fica muito grande (resposta grande transitória). Se temos o caso-resonante que trataremos agora.
Passo 4
Resolver o caso especial
(resonância) passo a passo:
- Com
a equação fica
- A solução homogênea é
. - Como o forçamento é
(igual à forma da homogênea), tentamos uma solução particular multiplicada por :
onde
é constante a determinar.
- Calcule a derivada (explicar carefully):
- Substitua
e na equação:
- O termo em
cancela, sobrando . Igualando ao lado direito obtemos
- Portanto a solução particular é
- A solução geral é soma da homogênea com a particular:
- Use a condição inicial
:
- Logo a solução final (com
e ) é
Passo 5
Interpretação e dicas para a prova (curtinha e prática):
- Por que precisei multiplicar por
? Porque quando o forçamento é da mesma forma que uma solução da homogênea ( ), a tentativa direta colapsa (levaria a uma equação 0=const). Multiplicar por é o procedimento padrão para resolver essa “ressonância” em coeficientes indeterminados. - Com
(caso não-resonante) a componente decai mais devagar do que , então o termo em domina para grande. Com os expoentes coincidem e surge a componente polinomial em multiplicando ; para valores moderados de a parte tende a ser maior do que a parte constante (no limite ambas vão a zero, mas a componente com domina no sentido relativo). - Resumo prático para a prova: identificar se o forçamento é exponencial com a mesma taxa da homogênea; se sim, tente
vezes a mesma exponencial; caso contrário, tente uma constante vezes a exponencial.