No Exemplo 2, a constante de decaimento para o isótopo R A_{1} foi 10 / \mathrm{s}, o que se expressa no expoente do termo da taxa 50 e^{-10 t} \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Quando a constante de decaimento para R A_{2} é k=2 / \mathrm{s}, vemos que, na Fórmula (14) para y, o termo (185/4) e^{-2 t} acaba dominando (tem maior magnitude para t grande).
(b) Refaça o Exemplo 2 considerando k=10 / \mathrm{s}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Repetir o Exemplo 2 supondo que a constante de decaimento para RA_2 é k=10/\mathrm{s}.
Informações relevantes fornecidas (ou inferidas do texto que você deu):
  • A constante de decaimento do isótopo RA_1 é 10/\mathrm{s}.
  • No enunciado original apareceu um termo da taxa 50 e^{-10 t}\\ \mathrm{kg/s}; vou interpretar esse termo como o forçamento (termo de entrada) que aparece na equação diferencial de y(t) (quantidade de RA_2 em kg). Ou seja, o segundo membro da equação é 50 e^{-10 t}.
  • Na solução original com k=2 a fórmuala (14) continha o termo (185/4)e^{-2t}. A partir disso é consistente inferir que a condição inicial usada lá era y(0)=40 (pois com k=2 a solução conveniente se escreve y(t)=C e^{-2t}-\tfrac{25}{4}e^{-10t} e C=185/4 y(0)=40). Vou assumir a mesma condição inicial y(0)=40 para refazer o exemplo com k=10. Se a condição inicial do seu problema for outra, diga-a depois; aqui não vou pedir — apenas aviso que estou supondo y(0)=40.
Observação: se alguma dessas interpretações estiver errada (por exemplo o termo 50 e^{-10t} representa outra coisa), a solução numérica mudará. Vou prosseguir com as hipóteses acima porque são consistentes com os valores mencionados.

Passo 2

Qual é o modelo e o método a usar:
  • O modelo que vamos resolver é a equação diferencial linear de 1ª ordem com coeficientes constantes e um forçamento exponencial:
y'(t)+k\,y(t)=50 e^{-10t},
com condição inicial presumida
y(0)=40.
  • Método: usar método dos coeficientes indeterminados (ou fator integrante). Vou mostrar ambos os casos: k\neq10 (caso não-resonante, só para entendimento) e o caso especial k=10 (resonante), que é o que interessa aqui. Explico por que o caso k=10 é especial: o forçamento tem a mesma taxa exponencial que a solução homogênea ( e^{-10t}), então a tentativa usual A e^{-10t} falha e é preciso multiplicar por t, ou seja, tentar A t e^{-10t}.

Passo 3

Resolver o caso geral não-resonante ( k\neq 10) — aula rápida sobre o procedimento:
  • Para forçamento 50 e^{-10t} tenta-se uma solução particular da forma \displaystyle y_p(t)=A e^{-10t} (constante A a determinar).
  • Diferenciando:
y_p'(t)=-10A e^{-10t}.
  • Substituindo na equação:
-10A e^{-10t} + k A e^{-10t} = 50 e^{-10t}.
  • Cancelando e^{-10t} (não nulo) obtemos
A(k-10)=50 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{50}{k-10}.
  • Logo, a solução geral é
y(t)=C e^{-k t} + \frac{50}{k-10}e^{-10t},
onde C é fixado pela condição inicial y(0)=40:
40 = C + \frac{50}{k-10}\quad\Rightarrow\quad C=40-\frac{50}{k-10}.
  • Observação didática: isso vale apenas para k\neq10. Se k estiver muito próximo de 10, a componente particular fica muito grande (resposta grande transitória). Se k=10 temos o caso-resonante que trataremos agora.

Passo 4

Resolver o caso especial k=10 (resonância) passo a passo:
  • Com k=10 a equação fica
y'(t)+10\,y(t)=50 e^{-10t},\qquad y(0)=40.
  • A solução homogênea é y_h(t)=C e^{-10t}.
  • Como o forçamento é 50 e^{-10t} (igual à forma da homogênea), tentamos uma solução particular multiplicada por t:
y_p(t)=A t e^{-10t},
onde A é constante a determinar.
  • Calcule a derivada (explicar carefully):
y_p'(t)=A e^{-10t} + A t(-10)e^{-10t} = A e^{-10t} -10A t e^{-10t}.
  • Substitua y_p e y_p' na equação:
\bigl(A e^{-10t} -10A t e^{-10t}\bigr) + 10\bigl(A t e^{-10t}\bigr) = A e^{-10t}.
  • O termo em t e^{-10t} cancela, sobrando A e^{-10t}. Igualando ao lado direito 50 e^{-10t} obtemos
A=50.
  • Portanto a solução particular é
y_p(t)=50\,t e^{-10t}.
  • A solução geral é soma da homogênea com a particular:
y(t)=C e^{-10t} + 50\,t e^{-10t}.
  • Use a condição inicial y(0)=40:
y(0)=C + 50\cdot 0 = C =40.
  • Logo a solução final (com k=10 e y(0)=40) é
y(t)=\bigl(40 + 50 t\bigr)e^{-10t}.

Passo 5

Interpretação e dicas para a prova (curtinha e prática):
  • Por que precisei multiplicar por t? Porque quando o forçamento é da mesma forma que uma solução da homogênea ( e^{-10t}), a tentativa direta A e^{-10t} colapsa (levaria a uma equação 0=const). Multiplicar por t é o procedimento padrão para resolver essa “ressonância” em coeficientes indeterminados.
  • Com k=2 (caso não-resonante) a componente e^{-2t} decai mais devagar do que e^{-10t}, então o termo em e^{-2t} domina para t grande. Com k=10 os expoentes coincidem e surge a componente polinomial em t multiplicando e^{-10t}; para valores moderados de t a parte 50 t e^{-10t} tende a ser maior do que a parte constante 40 e^{-10t} (no limite t\to\infty ambas vão a zero, mas a componente com t domina no sentido relativo).
  • Resumo prático para a prova: identificar se o forçamento é exponencial com a mesma taxa da homogênea; se sim, tente t vezes a mesma exponencial; caso contrário, tente uma constante vezes a exponencial.

Resposta

y(t)=\bigl(40 + 50\,t\bigr)e^{-10t}

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