Considere duas partículas de massas m_{1}=7,0 \mathrm{~kg} e m_{2}=3,5 \mathrm{~kg} no vácuo. A intensidade da força gravitacional entre as duns partículas e F_{G}=3,7 \times 10^{-12} N. A constante de gravitação universal é: G= 6,67 \times 10^{-11} \frac{m^{3}}{s^{2} k g}
Determine a distáncia entre as duas particulas.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a distância entre duas partículas dadas as suas massas e a intensidade da força gravitacional entre elas.
Dados fornecidos:
m_{1}=7{,}0\\ \mathrm{kg}
m_{2}=3{,}5\\ \mathrm{kg}
F_{G}=3{,}7\times10^{-12}\\ \mathrm{N}
G=6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}

Passo 2

Fórmula que relaciona as quantidades (explicação didática): a interação gravitacional entre duas massas puntiformes separadas por uma distância r é dada pela expressão
F_{G}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}.
Aqui:
  • F_{G} é a força gravitacional (em newtons, \mathrm{N});
  • G é a constante de gravitação universal;
  • m_{1} e m_{2} são as massas (em quilogramas, \mathrm{kg});
  • r é a distância entre os centros das massas (em metros, \mathrm{m}).
O objetivo é isolar r nessa fórmula para calcular a distância a partir dos dados fornecidos.

Passo 3

Isolando r na fórmula: multiplico e reorganizo para obter r^{2} e depois extraio a raiz quadrada.
r^{2}=G\frac{m_{1}m_{2}}{F_{G}}
r=\sqrt{\,G\frac{m_{1}m_{2}}{F_{G}}\,}.
Explicação: passei r^{2} para o outro lado da igualdade e dividi por F_{G}; em seguida tomo a raiz quadrada para obter r.

Passo 4

Substituição dos valores e cálculo passo a passo (faço as contas de forma que dê para acompanhar sem calculadora):
Calculo primeiro o produto das massas:
m_{1}m_{2}=7{,}0\cdot3{,}5=24{,}5\\ \mathrm{kg^{2}}.
Agora multiplico por G:
G\,m_{1}m_{2}=6{,}67\times10^{-11}\cdot24{,}5.
Faço a multiplicação numérica separadamente:
6{,}67\cdot24{,}5=163{,}415.
Portanto, em notação científica:
G\,m_{1}m_{2}=163{,}415\times10^{-11}=1{,}63415\times10^{-9}.

Passo 5

Divido pelo valor de F_{G} para obter r^{2}:
r^{2}=\frac{1{,}63415\times10^{-9}}{3{,}7\times10^{-12}}.
Faço a divisão de mantissas e a subtração de expoentes separadamente:
\frac{1{,}63415}{3{,}7}\approx0{,}44166,
e os expoentes:
10^{-9}/10^{-12}=10^{3}.
Logo
r^{2}\approx0{,}44166\times10^{3}=441{,}66\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Agora extraio a raiz quadrada para obter r:
r=\sqrt{441{,}66}\approx21{,}016\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: como \sqrt{441}=21 e o valor é ligeiramente maior, a raiz fica pouco acima de 21. Arredondando com sentido prático e considerando algarismos significativos dos dados, podemos dar o resultado com três algarismos (ou dois, dependendo da regra de arredondamento da prova).

Passo 7

Verificação rápida de unidades: dentro da raiz tínhamos \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}\cdot\mathrm{kg^{2}}/\mathrm{N}. Como \mathrm{N}=\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}, ao simplificar sobra \mathrm{m^{2}}, e a raiz dá \mathrm{m}. Ou seja, as unidades conferem com distância em metros — bom sinal.

Resposta

21{,}0\\ \mathrm{m}

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