Um bloco de massa m oscila horizontalmente ao longo de uma reta, para frente e para trás, sobre uma superficie sem atrito. Considerando que o eixo \hat{x} está ao longo dessn reta, a posição do bloco é dada por:
\vec{x}(t)=X \cos (\omega t+\varphi) \hat{\tau}
onde X, w e \rho são conhecidos.
a) (0,5) Qual o módulo da velocidade máxima.
b) (1,0) Em quais instantes ocorrem |\vec{v}(t)|=v_{\text {max }}
Passo 1
O enunciado dá a posição do bloco em função do tempo:
\vec{x}(t)=X\cos(\omega t+\varphi)\,\hat{\tau}
As informações relevantes que temos são:
X,\;\omega,\;\varphi
são conhecidos (constantes). O eixo \hat{x} está ao longo da reta do movimento e \hat{\tau} é o versor na direção do movimento (ou seja, \hat{\tau} e \hat{x} apontam na mesma direção).
As perguntas do enunciado são:
a) (0,5) Qual o módulo da velocidade máxima? \n
b) (1,0) Em quais instantes ocorrem |\vec{v}(t)|=v_{\text{max}}?
Passo 2
Vamos calcular a velocidade vetorial \vec{v}(t) derivando a posição em relação ao tempo. Regra que vamos usar: a derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t))\cdot u'(t). Aqui u(t)=\omega t+\varphi e u'(t)=\omega.
Expliquei passo a passo: o fator -X vem de derivar o \cos, o fator \omega vem da derivada do argumento (\omega t+\varphi), e o \hat{\tau} acompanha porque é constante (versor fixo).
Passo 3
O módulo (a velocidade escalar) é o valor absoluto do vetor velocidade. Então:
Aqui expliquei as peças da fórmula: X é a amplitude de deslocamento (unidade de comprimento), \omega é a velocidade angular (unidade \text{rad/s}), e \sin(\omega t+\varphi) é adimensional; o produto X\omega tem unidade de velocidade, como era de se esperar.
Passo 4
Para achar o módulo máximo da velocidade precisamos maximizar |\sin(\omega t+\varphi)|. Sabemos que para qualquer argumento \theta,
O valor máximo de |\sin\theta| é 1. Portanto o máximo de |\vec{v}(t)| ocorre quando |\sin(\omega t+\varphi)|=1. Substituindo esse valor máximo na expressão do módulo obtemos:
v_{\max}=X\,\omega.
Física/intuição rápida: a velocidade máxima numa oscilação harmônica simples é o produto da amplitude espacial X pela velocidade angular \omega.
Passo 5
Agora vamos achar os instantes t em que |\vec{v}(t)|=v_{\max}. Isso equivale a resolver
\bigl|\sin(\omega t+\varphi)\bigr|=1.
A função seno tem magnitude 1 quando seu argumento é \pi/2 mais um múltiplo de \pi, ou seja:
t = \frac{1}{\omega}\left(\frac{\pi}{2}-\varphi + k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Observações para a prova: esses instantes ocorrem a cada intervalo de tempo \Delta t=\pi/\omega, que é metade do período da oscilação. De fato o período é T=2\pi/\omega, então os picos de velocidade (em módulo) aparecem a cada T/2. Em alguns desses instantes a velocidade é positiva (movimento em um sentido) e em outros é negativa (movimento no sentido oposto), mas o módulo é o mesmo.
Resposta
a) v_{\max}=X\,\omega\n
b) t=\dfrac{1}{\omega}\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\varphi + k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}