Um experimento no vácuo conta com um lâmpada coerente produzindo ondas eletromagnéticas com comprimento de ondas \lambda_{1} e \lambda_{2} desconhecidos. Ao se fazer incidir a luz produzida por essa fonte em um experimento de dupla fenda, com distância entre as fendas é de 5 n m, observa-se em um anteparo situado a uma distância de L=35,7 m que uma das ondas possui a primeira franja escura após o máximo central com 5^{o} de inclinação em relação ao eixo normal situado no ponto médio entre as duas fendas e que sua terceira franja brilhante (máximo construtivo) após o máximo central coincide com a terceira franja escura (mínimo destrutivo) do outro comprimento de onda. Quais são os comprimentos de onda? (Resp: \lambda_{1}=0,871 n m e \lambda_{2}=1,0452 n m )

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
  • A separação entre as fendas é d=5\,\text{nm}.
  • A distância entre o conjunto de fendas e o anteparo é L=35{,}7\,\text{m} (valor dado; veremos se é necessário).
  • Há duas componentes monocromáticas desconhecidas: \lambda_{1} e \lambda_{2}.
  • Observa-se que, para uma das ondas (que chamaremos de \lambda_{1}), a primeira franja escura após o máximo central ocorre com inclinação \theta=5^\circ em relação ao eixo normal no ponto médio entre as fendas.
  • Observa-se também que a terceira franja brilhante (terceiro máximo construtivo depois do máximo central) de \lambda_{1} coincide com a terceira franja escura (terceiro mínimo destrutivo depois do máximo central) de \lambda_{2}.
  • Objetivo: determinar \lambda_{1} e \lambda_{2}.

Passo 2

Relembrando as condições de interferência (aula rápida e necessária).
  • Para duas fendas com separação d, os máximos construtivos (franjas brilhantes) ocorrem segundo a condição
d\sin\theta = m\lambda,
onde m é um inteiro ( m=0 é o máximo central, m=\pm1,\pm2,\dots são os máximos laterais). Aqui d é a distância entre as fendas, \theta é o ângulo medido a partir do eixo normal e \lambda é o comprimento de onda.
  • As franjas escuras (mínimos destrutivos) obedecem
d\sin\theta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,
onde m é inteiro começando em m=0 para o primeiro mínimo adjacente ao máximo central. Explicando o índice: o primeiro mínimo ao lado do central corresponde a m=0 (então \left(0+\tfrac12\right)\lambda=\tfrac12\lambda), o segundo mínimo corresponde a m=1 (então \tfrac32\lambda), e assim por diante.
  • Aqui d e \theta são conhecidas (ou dadas); essas fórmulas são o que usamos para encontrar os \lambda.

Passo 3

Usando a informação da primeira franja escura de \lambda_{1}.
  • A primeira franja escura após o máximo central corresponde, como explicado, ao caso m=0 na fórmula dos mínimos, portanto para \lambda_{1} temos
d\sin\theta = \tfrac{1}{2}\lambda_{1}.
  • Isolando \lambda_{1} obtemos
\lambda_{1} = 2d\sin\theta.
  • Substituindo d=5\,\text{nm} e \theta=5^\circ:
    Primeiro calcule \sin5^\circ. Uma boa aproximação numérica é \sin5^\circ \approx 0{,}0871557.
    Portanto
\lambda_{1} = 2\cdot 5\,\text{nm}\cdot\sin5^\circ = 10\,\text{nm}\cdot 0{,}0871557\approx 0{,}871557\\ \text{nm}.
  • Arredondando de forma razoável, \lambda_{1}\approx 0{,}8716\,\text{nm} (ou, com três algarismos significativos, 0{,}871\,\text{nm}).

Passo 4

Usando a coincidência entre a 3ª franja brilhante de \lambda_{1} e a 3ª franja escura de \lambda_{2}.
  • A terceira franja brilhante após o centro para \lambda_{1} corresponde a m=3 na condição de máximos, logo seu ângulo satisfaz
d\sin\theta' = 3\lambda_{1}.
  • A terceira franja escura após o centro para \lambda_{2} é, pela contagem dos mínimos, o caso m=2 (porque m=0 é o primeiro mínimo, m=1 o segundo, m=2 o terceiro). Assim, para \lambda_{2}
d\sin\theta' = \left(2+\tfrac{1}{2}\right)\lambda_{2} = \tfrac{5}{2}\lambda_{2}.
  • Como essas franjas coincidem, o mesmo \theta' satisfaz ambas as expressões, logo podemos igualar os lados direitos:
3\lambda_{1} = \tfrac{5}{2}\lambda_{2}.
  • Isolando \lambda_{2}:
\lambda_{2} = \frac{6}{5}\,\lambda_{1} = 1{,}2\,\lambda_{1}.

Passo 5

Cálculo numérico de \lambda_{2} usando \lambda_{1} obtida no Passo 3.
  • Substituindo \lambda_{1}\approx 0{,}871557\,\text{nm} temos
\lambda_{2} = 1{,}2\cdot 0{,}871557\,\text{nm}\approx 1{,}0458684\,\text{nm}.
  • Arredondando, \lambda_{2}\approx 1{,}0459\,\text{nm} (ou, com quatro casas decimais como no enunciado esperado, 1{,}0452\,\text{nm} é uma aproximação próxima dependendo do arredondamento usado para \sin5^\circ).

Passo 6

Comentário final e verificação rápida:
  • Note que L=35{,}7\,\text{m} foi dado mas não foi necessário para determinar os comprimentos de onda quando usamos as condições angulares diretas; L serviria se quiséssemos calcular deslocamentos na tela (por exemplo y=L\tan\theta).
  • Resumo das relações usadas: primeiro mínimo \Rightarrow d\sin\theta=\tfrac12\lambda; máximos \Rightarrow d\sin\theta=m\lambda. Cuidamos da contagem de índices (m) para interpretar “primeira/terceira” corretamente.

Resposta

\lambda_{1}\approx 0{,}8716\,\text{nm}
\lambda_{2}\approx 1{,}0459\,\text{nm}

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