Um experimento no vácuo conta com um lâmpada coerente produzindo ondas eletromagnéticas com comprimento de ondas
e
desconhecidos. Ao se fazer incidir a luz produzida por essa fonte em um experimento de dupla fenda, com distância entre as fendas é de
, observa-se em um anteparo situado a uma distância de
que uma das ondas possui a primeira franja escura após o máximo central com
de inclinação em relação ao eixo normal situado no ponto médio entre as duas fendas e que sua terceira franja brilhante (máximo construtivo) após o máximo central coincide com a terceira franja escura (mínimo destrutivo) do outro comprimento de onda. Quais são os comprimentos de onda? (Resp:
e
)
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos:
- A separação entre as fendas é
. - A distância entre o conjunto de fendas e o anteparo é
(valor dado; veremos se é necessário). - Há duas componentes monocromáticas desconhecidas:
e . - Observa-se que, para uma das ondas (que chamaremos de
), a primeira franja escura após o máximo central ocorre com inclinação em relação ao eixo normal no ponto médio entre as fendas. - Observa-se também que a terceira franja brilhante (terceiro máximo construtivo depois do máximo central) de
coincide com a terceira franja escura (terceiro mínimo destrutivo depois do máximo central) de . - Objetivo: determinar
e .
Passo 2
Relembrando as condições de interferência (aula rápida e necessária).
- Para duas fendas com separação
, os máximos construtivos (franjas brilhantes) ocorrem segundo a condição
onde
é um inteiro (
é o máximo central,
são os máximos laterais). Aqui
é a distância entre as fendas,
é o ângulo medido a partir do eixo normal e
é o comprimento de onda.
- As franjas escuras (mínimos destrutivos) obedecem
onde
é inteiro começando em
para o primeiro mínimo adjacente ao máximo central. Explicando o índice: o primeiro mínimo ao lado do central corresponde a
(então
), o segundo mínimo corresponde a
(então
), e assim por diante.
- Aqui
e são conhecidas (ou dadas); essas fórmulas são o que usamos para encontrar os .
Passo 3
Usando a informação da primeira franja escura de
.
- A primeira franja escura após o máximo central corresponde, como explicado, ao caso
na fórmula dos mínimos, portanto para temos
- Isolando
obtemos
- Substituindo
e :
Primeiro calcule. Uma boa aproximação numérica é .
Portanto
- Arredondando de forma razoável,
(ou, com três algarismos significativos, ).
Passo 4
Usando a coincidência entre a 3ª franja brilhante de
e a 3ª franja escura de
.
- A terceira franja brilhante após o centro para
corresponde a na condição de máximos, logo seu ângulo satisfaz
- A terceira franja escura após o centro para
é, pela contagem dos mínimos, o caso (porque é o primeiro mínimo, o segundo, o terceiro). Assim, para
- Como essas franjas coincidem, o mesmo
satisfaz ambas as expressões, logo podemos igualar os lados direitos:
- Isolando
:
Passo 5
Cálculo numérico de
usando
obtida no Passo 3.
- Substituindo
temos
- Arredondando,
(ou, com quatro casas decimais como no enunciado esperado, é uma aproximação próxima dependendo do arredondamento usado para ).
Passo 6
Comentário final e verificação rápida:
- Note que
foi dado mas não foi necessário para determinar os comprimentos de onda quando usamos as condições angulares diretas; serviria se quiséssemos calcular deslocamentos na tela (por exemplo ). - Resumo das relações usadas: primeiro mínimo
; máximos . Cuidamos da contagem de índices (m) para interpretar “primeira/terceira” corretamente.