Considere duas placas polarizadoras paralelas entre si e perpendiculares à direção de um feixe de luz não polarizado. De que ângulo se deve girar uma das placas para que a intensidade média após o segundo polarizador se reduza a quarta parte do valor máximo incidente? (Resp: \theta=45^{\circ} )

Passo 1

O enunciado dá um feixe de luz não polarizada incidindo perpendicularmente em duas placas polarizadoras inicialmente paralelas entre si. Pede-se: de que ângulo devemos girar uma das placas (em relação à outra) para que a intensidade média depois do segundo polarizador seja igual a um quarto do valor máximo incidente?
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vamos usar):
  • Intensidade da luz incidente (não polarizada): \;I_0.
  • As duas placas são polarizadores ideais e estão inicialmente paralelas; depois giramos uma delas de um ângulo \theta em relação à outra.
  • Queremos que a intensidade média após o segundo polarizador seja \;I_0/4.

Passo 2

Entender o que faz o primeiro polarizador sobre luz não polarizada. Vou explicar devagar: luz não polarizada tem os campos elétricos oscilando em todas as direções transversais igualmente. Um polarizador ideal só deixa passar a componente do campo elétrico que esteja na sua direção de transmissão; as componentes ortogonais são bloqueadas. Em termos de intensidade, podemos pensar em duas maneiras equivalentes:
  1. decomposição: a intensidade \;I_0 pode ser vista como soma de contribuições de duas polarizações ortogonais iguais; o polarizador deixa passar só a componente paralela, isto é metade da energia → transmite \;I_0/2;
  2. média angular: aplicando a média de \cos^2 sobre todas as direções, obtemos \langle \cos^2\varphi\rangle = 1/2, logo a fração média transmitida é 1/2.
Portanto, depois do primeiro polarizador a intensidade é
I_1 = \frac{I_0}{2},
e a luz que sai do primeiro polarizador está polarizada na direção do eixo daquele polarizador. Aqui eu defini: \;I_0 = intensidade incidente (não polarizada) e \;I_1 = intensidade após o primeiro polarizador.

Passo 3

Agora vem a lei que relaciona intensidade transmitida por um polarizador quando a luz incidente já está polarizada: a Lei de Malus. Ela diz que, se luz polarizada com intensidade \;I_{\text{in}} tem sua direção de polarização fazendo um ângulo \varphi com o eixo de transmissão do polarizador, então a intensidade transmitida é
I_{\text{out}} = I_{\text{in}}\cos^2\!\varphi.
Explicando cada símbolo: \;I_{\text{in}} é a intensidade da luz polarizada antes do polarizador, \varphi é o ângulo entre a direção de polarização da luz e o eixo do polarizador, e \;I_{\text{out}} é a intensidade depois do polarizador. A razão física é que a componente do campo elétrico ao longo do eixo do polarizador é E\cos\varphi, e a intensidade é proporcional a E^2, daí o \cos^2\varphi.
No nosso problema, depois do primeiro polarizador a luz tem intensidade \;I_1=\frac{I_0}{2} e está polarizada segundo o eixo do primeiro polarizador. O segundo polarizador foi girado de um ângulo \theta em relação ao primeiro, então aplicando Malus temos a intensidade após o segundo polarizador:
I_2 = I_1\cos^2\!\theta = \frac{I_0}{2}\cos^2\!\theta.

Passo 4

Agora impomos a condição do enunciado: queremos que a intensidade média após o segundo polarizador seja um quarto do valor máximo incidente, isto é
I_2 = \frac{I_0}{4}.
Substituindo a expressão de I_2 do passo anterior:
\frac{I_0}{2}\cos^2\!\theta = \frac{I_0}{4}.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por I_0 (assumindo I_0\neq 0):
\frac{1}{2}\cos^2\!\theta = \frac{1}{4}.
Multiplicando por 2:
\cos^2\!\theta = \frac{1}{2}.
Tirando raiz (lembrando que \cos^2\theta\ge0):
\cos\!\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Os ângulos entre 0^\circ e 180^\circ que satisfazem isso são \theta=45^\circ e \theta=135^\circ. Na prática, a configuração usual considera o ângulo mínimo entre os eixos dos polarizadores (valor entre 0^\circ e 90^\circ), então tomamos
\theta = 45^\circ.

Passo 5

Pequena interpretação e checagem: se girarmos de \;45^\circ, então \cos^2 45^\circ = (1/\sqrt{2})^2 = 1/2. Assim I_2=(I_0/2)\cdot(1/2)=I_0/4, que é exatamente o pedido. Se tivéssemos girado 135^\circ o resultado de intensidade seria o mesmo numericamente, mas esse ângulo corresponde ao mesmo valor absoluto de \cos com sinal trocado; em provas costuma-se responder com o ângulo agudo \;45^\circ.

Resposta

\theta=45^\circ

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