Considere duas placas polarizadoras paralelas entre si e perpendiculares à direção de um feixe de luz não polarizado. De que ângulo se deve girar uma das placas para que a intensidade média após o segundo polarizador se reduza a quarta parte do valor máximo incidente? (Resp:
)
Passo 1
O enunciado dá um feixe de luz não polarizada incidindo perpendicularmente em duas placas polarizadoras inicialmente paralelas entre si. Pede-se: de que ângulo devemos girar uma das placas (em relação à outra) para que a intensidade média depois do segundo polarizador seja igual a um quarto do valor máximo incidente?
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vamos usar):
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vamos usar):
- Intensidade da luz incidente (não polarizada):
. - As duas placas são polarizadores ideais e estão inicialmente paralelas; depois giramos uma delas de um ângulo
em relação à outra. - Queremos que a intensidade média após o segundo polarizador seja
.
Passo 2
Entender o que faz o primeiro polarizador sobre luz não polarizada. Vou explicar devagar: luz não polarizada tem os campos elétricos oscilando em todas as direções transversais igualmente. Um polarizador ideal só deixa passar a componente do campo elétrico que esteja na sua direção de transmissão; as componentes ortogonais são bloqueadas. Em termos de intensidade, podemos pensar em duas maneiras equivalentes:
-
decomposição: a intensidade
pode ser vista como soma de contribuições de duas polarizações ortogonais iguais; o polarizador deixa passar só a componente paralela, isto é metade da energia → transmite ; -
média angular: aplicando a média de
sobre todas as direções, obtemos , logo a fração média transmitida é .
Portanto, depois do primeiro polarizador a intensidade é
e a luz que sai do primeiro polarizador está polarizada na direção do eixo daquele polarizador. Aqui eu defini:
= intensidade incidente (não polarizada) e
= intensidade após o primeiro polarizador.
Passo 3
Agora vem a lei que relaciona intensidade transmitida por um polarizador quando a luz incidente já está polarizada: a Lei de Malus. Ela diz que, se luz polarizada com intensidade
tem sua direção de polarização fazendo um ângulo
com o eixo de transmissão do polarizador, então a intensidade transmitida é
Explicando cada símbolo:
é a intensidade da luz polarizada antes do polarizador,
é o ângulo entre a direção de polarização da luz e o eixo do polarizador, e
é a intensidade depois do polarizador. A razão física é que a componente do campo elétrico ao longo do eixo do polarizador é
, e a intensidade é proporcional a
, daí o
.
No nosso problema, depois do primeiro polarizador a luz tem intensidade
e está polarizada segundo o eixo do primeiro polarizador. O segundo polarizador foi girado de um ângulo
em relação ao primeiro, então aplicando Malus temos a intensidade após o segundo polarizador:
Passo 4
Agora impomos a condição do enunciado: queremos que a intensidade média após o segundo polarizador seja um quarto do valor máximo incidente, isto é
Substituindo a expressão de
do passo anterior:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Multiplicando por
:
Tirando raiz (lembrando que
):
Os ângulos entre
e
que satisfazem isso são
e
. Na prática, a configuração usual considera o ângulo mínimo entre os eixos dos polarizadores (valor entre
e
), então tomamos
Passo 5
Pequena interpretação e checagem: se girarmos de
, então
. Assim
, que é exatamente o pedido. Se tivéssemos girado
o resultado de intensidade seria o mesmo numericamente, mas esse ângulo corresponde ao mesmo valor absoluto de
com sinal trocado; em provas costuma-se responder com o ângulo agudo
.