Um feixe de luz não polarizada com uma intensidade média de 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} atravessa um filtro polarizador. Qual a amplitude do campo elétrico da luz transmitida. (Resp: 61,38 \mathrm{~V} / \mathrm{m} )

Passo 1

O enunciado dá uma luz não polarizada com intensidade média 10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} que atravessa um filtro polarizador. A pergunta é: qual a amplitude do campo elétrico da luz transmitida?
Informações relevantes fornecidas:
  • Intensidade média da luz incidente: I_{\text{inc}} = 10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • A luz é não polarizada (ou seja, polarizações aleatórias).
  • A luz atravessa um polarizador ideal (filtração por polarização).
  • Queremos a amplitude do campo elétrico (valor de pico) da luz que saiu do polarizador.

Passo 2

O que acontece num polarizador com luz não polarizada?
Luz não polarizada tem, em média, componentes de campo elétrico igualmente distribuídas em todas as direções transversais. Ao passar por um polarizador ideal, apenas a componente na direção do eixo do polarizador é transmitida. Se você decompõe por ângulo, a intensidade transmitida depende de \cos^2\theta e a média de \cos^2\theta sobre todos os ângulos é 1/2.
Uma maneira rápida de ver isso é:
\langle \cos^2\theta\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \frac{1}{2}.
Portanto, um polarizador ideal transmite, em média, metade da intensidade da luz não polarizada. Assim,
I_{\text{trans}}=\frac{1}{2}I_{\text{inc}}.

Passo 3

Relação entre intensidade média e amplitude do campo elétrico: para uma onda eletromagnética plana no vácuo (ou ar aproximado por vácuo), a intensidade média (módulo do vetor de Poynting médio) está relacionada à amplitude do campo elétrico de pico E_0 por
I=\frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2.
Aqui:
  • I é a intensidade média em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},
  • c é a velocidade da luz no vácuo, c\approx 3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s},
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo, \varepsilon_0\approx 8{,}854\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
  • E_0 é a amplitude (valor de pico) do campo elétrico em \mathrm{V}/\mathrm{m}.
Explicação do fator 1/2: para uma função senoidal E(t)=E_0\cos(\omega t), a média temporal de \cos^2(\omega t) é 1/2, daí o fator 1/2 na expressão da intensidade média.
Também é útil a impedância do espaço livre:
Z_0=\frac{1}{c\varepsilon_0}\approx 376{,}73\\ \Omega,
o que permite escrever a intensidade como
I=\frac{E_0^2}{2Z_0}.

Passo 4

Calcule a intensidade transmitida pelo polarizador usando o resultado do Passo 2:
I_{\text{trans}}=\frac{1}{2}I_{\text{inc}}=\frac{1}{2}\times 10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}=5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Agora isolamos E_0 na fórmula I=\dfrac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2. Reorganizando:
E_0=\sqrt{\frac{2I}{c\varepsilon_0}}.
Usando a forma com Z_0 (às vezes mais prática numericamente),
E_0=\sqrt{2 I Z_0}.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos. Primeiro, a impedância do vácuo:
Z_0=\frac{1}{c\varepsilon_0}\approx 376{,}73\\ \Omega.
Então
2 I_{\text{trans}} Z_0 = 2\times 5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\times 376{,}73\\ \Omega = 3767{,}3\\ (\mathrm{V}^2/\mathrm{m}^2).
Finalmente,
E_0=\sqrt{3767{,}3}\approx 61{,}38\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: o valor obtido é a amplitude de pico do campo elétrico da onda transmitida. Se a intensidade incidente fosse maior, E_0 aumentaria como a raiz quadrada; se o polarizador fosse imperfecto ou estivesse inclinado, haveria outros fatores, mas a ideia central (média de 1/2 para luz não polarizada e relação I\propto E_0^2) vale sempre. Vai dar certo na prova — você já entendeu o raciocínio chave!

Resposta

61,38\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}

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