Uma fonte luminosa puntiforme é colocada a 1,90 metros abaixo da superfície da água de uma piscina.
(a) Determine o diâmetro do maior ciruclo na superfícieda água através da qual a luz pode emergir. (Dado que o índice de refração do ar é
e da água
). (Resp:
)
(b) Foi adicionado cloro nessa água e observou-se que o diâmetro do círculo luminoso sobre a água é de
, qual o índice de refração da mistura de água com cloro? (Resp: 1, 396)
(a) Determine o diâmetro do maior ciruclo na superfícieda água através da qual a luz pode emergir. (Dado que o índice de refração do ar é
(b) Foi adicionado cloro nessa água e observou-se que o diâmetro do círculo luminoso sobre a água é de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o diâmetro do maior círculo na superfície da água por onde a luz de uma fonte pontual pode emergir, sabendo que a fonte está a
metros abaixo da superfície e que os índices de refração são e . - (b) Sabendo que, após adicionar cloro, o diâmetro observado do círculo luminoso na superfície passou a ser
, determinar o índice de refração da mistura (isto é, da mistura água+cloro).
Informações dadas:
e, para a parte (b),
Passo 2
Conceito importante: Lei de Snell e ângulo crítico.
A Lei de Snell relaciona os índices de refração e os ângulos medidos em relação à normal:
onde
e
são os índices dos meios 1 e 2 e
,
são os ângulos que o raio forma com a normal em cada meio.
O ângulo crítico
ocorre quando o raio refratado ficou tangente à superfície, isto é,
e
. Considerando que a luz vai do meio mais denso (água, índice maior) para o menos denso (ar), a condição do ângulo crítico é
Aqui
é o maior ângulo, medido dentro da água em relação à normal, para o qual ainda existe refração para o ar. Para ângulos internos maiores que
ocorre reflexão total interna.
Passo 3
Geometria do problema: círculo luminoso na superfície.
Pense na fonte pontual a profundidade
abaixo de uma superfície plana. Os raios que emergem formam um cone com semiângulo
(medido a partir da vertical, que é a normal). A interseção desse cone com a superfície plana é um círculo de raio
tal que, pela trigonometria do triângulo reto vertical,
Portanto o diâmetro do círculo é
Essa fórmula é a chave: precisamos do
, que conseguiremos a partir de
(da Lei de Snell) ou direto em função dos índices.
Uma expressão útil que evita cálculo de
explícito é obter
em termos dos índices. Como
e
temos
Essa forma é prática para calcular
.
Passo 4
Cálculo da parte (a): usar
,
e
.
Calcule
pela fórmula direta:
Primeiro calcule o denominador:
Logo
Agora o diâmetro:
Calcule:
Arredondando razoavelmente (e conforme a resposta indicada), obtemos
.
Passo 5
Cálculo da parte (b): agora o diâmetro observado é
. Queremos o índice
tal que o círculo observado tenha esse diâmetro.
Usamos a relação geométrica inversa:
Com
e
,
A partir de
obtemos
usando a identidade
Calcule:
Portanto
Pela definição do ângulo crítico (indo do meio com índice
para o ar),
Assim
Arredondando conforme a resposta indicada,
.