Uma fonte luminosa puntiforme é colocada a 1,90 metros abaixo da superfície da água de uma piscina.
(a) Determine o diâmetro do maior ciruclo na superfícieda água através da qual a luz pode emergir. (Dado que o índice de refração do ar é n=1 e da água n=1,33 ). (Resp: 4,333 m )
(b) Foi adicionado cloro nessa água e observou-se que o diâmetro do círculo luminoso sobre a água é de 3,9 \mathrm{~m}, qual o índice de refração da mistura de água com cloro? (Resp: 1, 396)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o diâmetro do maior círculo na superfície da água por onde a luz de uma fonte pontual pode emergir, sabendo que a fonte está a 1,90 metros abaixo da superfície e que os índices de refração são n_{\text{ar}}=1 e n_{\text{água}}=1,33á.
  2. (b) Sabendo que, após adicionar cloro, o diâmetro observado do círculo luminoso na superfície passou a ser 3,9\\ \mathrm{m}, determinar o índice de refração da mistura (isto é, n da mistura água+cloro).
Informações dadas:
\text{profundidade } h = 1,90\\ \mathrm{m},
n_{\text{ar}} = 1,
n_{\text{água}} = 1{,}33 \quad\text{(para a parte (a))}á
e, para a parte (b),
\text{diâmetro observado } D = 3{,}9\\ \mathrm{m}.â

Passo 2

Conceito importante: Lei de Snell e ângulo crítico.
A Lei de Snell relaciona os índices de refração e os ângulos medidos em relação à normal:
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2,
onde n_1 e n_2 são os índices dos meios 1 e 2 e \theta_1, \theta_2 são os ângulos que o raio forma com a normal em cada meio.
O ângulo crítico \theta_c ocorre quando o raio refratado ficou tangente à superfície, isto é, \theta_2=90^\circ e \sin\theta_2=1. Considerando que a luz vai do meio mais denso (água, índice maior) para o menos denso (ar), a condição do ângulo crítico é
\sin\theta_c = \frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}.á
Aqui \theta_c é o maior ângulo, medido dentro da água em relação à normal, para o qual ainda existe refração para o ar. Para ângulos internos maiores que \theta_c ocorre reflexão total interna.

Passo 3

Geometria do problema: círculo luminoso na superfície.
Pense na fonte pontual a profundidade h abaixo de uma superfície plana. Os raios que emergem formam um cone com semiângulo \theta_c (medido a partir da vertical, que é a normal). A interseção desse cone com a superfície plana é um círculo de raio r tal que, pela trigonometria do triângulo reto vertical,
r = h \tan\theta_c.
Portanto o diâmetro do círculo é
D = 2r = 2h \tan\theta_c.
Essa fórmula é a chave: precisamos do \tan\theta_c, que conseguiremos a partir de \sin\theta_c (da Lei de Snell) ou direto em função dos índices.
Uma expressão útil que evita cálculo de \theta_c explícito é obter \tan\theta_c em termos dos índices. Como
\sin\theta_c = \frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}á
e
\cos\theta_c = \sqrt{1-\sin^2\theta_c} = \frac{\sqrt{n_{\text{água}}^2 - n_{\text{ar}}^2}}{n_{\text{água}}},áá
temos
\tan\theta_c = \frac{\sin\theta_c}{\cos\theta_c} = \frac{n_{\text{ar}}}{\sqrt{n_{\text{água}}^2 - n_{\text{ar}}^2}}.á
Essa forma é prática para calcular D = 2h\tan\theta_c.

Passo 4

Cálculo da parte (a): usar n_{\text{ar}}=1, n_{\text{água}}=1{,}33á e h=1{,}90\\ \mathrm{m}.
Calcule \tan\theta_c pela fórmula direta:
\tan\theta_c = \frac{n_{\text{ar}}}{\sqrt{n_{\text{água}}^2 - n_{\text{ar}}^2}} = \frac{1}{\sqrt{(1{,}33)^2 - 1^2}}.á
Primeiro calcule o denominador:
(1{,}33)^2 = 1{,}33 \times 1{,}33 = 1{,}7689,
(1{,}33)^2 - 1 = 1{,}7689 - 1 = 0{,}7689,
\sqrt{0{,}7689} \approx 0{,}8770.
Logo
\tan\theta_c \approx \frac{1}{0{,}8770} \approx 1{,}14036.
Agora o diâmetro:
D = 2 h \tan\theta_c = 2 \times 1{,}90 \times 1{,}14036.
Calcule:
2\times 1{,}90 = 3{,}80,
D \approx 3{,}80 \times 1{,}14036 \approx 4{,}33337\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (e conforme a resposta indicada), obtemos D \approx 4{,}333\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo da parte (b): agora o diâmetro observado é D=3{,}9\\ \mathrm{m}. Queremos o índice n_{\text{mistura}} tal que o círculo observado tenha esse diâmetro.
Usamos a relação geométrica inversa:
\tan\theta_c = \frac{D}{2h}.
Com D=3{,}9\\ \mathrm{m} e h=1{,}90\\ \mathrm{m},
\tan\theta_c = \frac{3{,}9}{2\times 1{,}90} = \frac{3{,}9}{3{,}8} = 1{,}026315789\ldots
A partir de \tan\theta_c obtemos \sin\theta_c usando a identidade
\sin\theta_c = \frac{\tan\theta_c}{\sqrt{1+\tan^2\theta_c}}.
Calcule:
\tan^2\theta_c \approx (1{,}026315789)^2 \approx 1{,}0534,
1+\tan^2\theta_c \approx 2{,}0534,
\sqrt{1+\tan^2\theta_c} \approx \sqrt{2{,}0534} \approx 1{,}4331.
Portanto
\sin\theta_c \approx \frac{1{,}026315789}{1{,}4331} \approx 0{,}71636.
Pela definição do ângulo crítico (indo do meio com índice n_{\text{mistura}} para o ar),
\sin\theta_c = \frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{mistura}}} = \frac{1}{n_{\text{mistura}}}.
Assim
n_{\text{mistura}} = \frac{1}{\sin\theta_c} \approx \frac{1}{0{,}71636} \approx 1{,}3961.
Arredondando conforme a resposta indicada, n_{\text{mistura}} \approx 1{,}396.

Resposta

4,333\\ \mathrm{m}
1,396

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