Considere um duto cilíndrico de aço, de comprimento L , com raio interno \mathrm{r}_{\mathrm{i}}=2,5 \mathrm{~cm} e raio externo \mathrm{r}_{\mathrm{e}}=3 \mathrm{~cm}. As superfícies interna e externa são mantidas às temperaturas \mathrm{T}_{\mathrm{i}}=120 { }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{\mathrm{e}}=80^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Sendo a condutividade térmica do aço constante e dada por \mathrm{k}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} :
a) Deduza uma expressão para o fluxo de calor por unidade de comprimento do duto. Considere condução unidimensional na direção r em regime permanente.
b) Determine o fluxo de calor por unidade de comprimento do duto;
c) Calcule o fluxo térmico nas superfícies interna e externa. Para tal, considere \mathrm{L}=1 m.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei todos os números do enunciado):
Geometria: duto cilíndrico com raio interno r_i=2{,}5\\ \text{cm}=0{,}025\\ \text{m} e raio externo r_e=3\\ \text{cm}=0{,}03\\ \text{m}.
Comprimento: L (mais adiante consideraremos L=1\\ \text{m} para o item (c)).
Temperaturas nas superfícies: T_i=120^\circ\mathrm{C} e T_e=80^\circ\mathrm{C}.
Condutividade térmica do aço: k=40\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
O enunciado pede:
(a) deduzir uma expressão para o fluxo de calor por unidade de comprimento do duto (regime estacionário, condução radial unidimensional);
(b) determinar numericamente esse fluxo por unidade de comprimento;
(c) calcular o fluxo térmico nas superfícies interna e externa (usar L=1\\ \text{m}).
Observação: aqui “fluxo por unidade de comprimento” significa a taxa de calor por comprimento do eixo do cilindro (unidade \mathrm{W/m}). Para as superfícies pedidas em (c) vamos fornecer o fluxo total em \mathrm{W} para L=1\\ \text{m} e as densidades de fluxo (fluxo por área) \mathrm{W/m^2} na superfície interna e externa.
Passo 2
Modelo físico e equação diferencial (aula rápida e intuitiva).
Em regime permanente e com simetria circunferencial e axial, a temperatura depende só de r. A lei de Fourier na direção radial dá o fluxo de calor através de uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L:
\dot{Q}(r) = -k\,A_r\,\frac{dT}{dr},
onde A_r é a área da superfície cilíndrica atravessada pelo calor. Para um cilindro, A_r=2\pi r L.
Em regime permanente e sem geração de calor, a taxa de calor \dot{Q}(r) é independente de r (o que entra numa casca sai na outra). Assim podemos escrever a equação diferencial para a temperatura a partir da condição de balanço:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0.
Explicando essa equação: é a forma radial da equação de condução estacionária sem geração; integrando-a obtemos o perfil de temperatura.
Passo 3
Integração da equação diferencial e forma geral da solução (passo-a-passo).
Integrando \dfrac{d}{dr}\!\left(r\dfrac{dT}{dr}\right)=0 uma vez:
r\frac{dT}{dr}=C_1,
onde C_1 é constante. Isolando a derivada:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r}.
Integrando novamente:
T(r)=C_1\ln r + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.
Aplicando as condições de contorno T(r_i)=T_i e T(r_e)=T_e, subtraindo as duas expressões:
Esta é a expressão pedida no item (a). Observação didática: a dependência em \ln(r_e/r_i) aparece porque a área disponível para condução varia com r; a solução é típica de condução radial em casca cilíndrica.
Passo 5
Cálculo numérico do fluxo por unidade de comprimento (item b). Conversões e números.
Observação: os fluxos por área são diferentes nas duas superfícies porque as áreas são diferentes; porém o fluxo total \dot{Q} é o mesmo atravessando qualquer seção cilíndrica (conservação de energia).