Considere um duto cilíndrico de aço, de comprimento L , com raio interno \mathrm{r}_{\mathrm{i}}=2,5 \mathrm{~cm} e raio externo \mathrm{r}_{\mathrm{e}}=3 \mathrm{~cm}. As superfícies interna e externa são mantidas às temperaturas \mathrm{T}_{\mathrm{i}}=120 { }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{\mathrm{e}}=80^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Sendo a condutividade térmica do aço constante e dada por \mathrm{k}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} :
a) Deduza uma expressão para o fluxo de calor por unidade de comprimento do duto. Considere condução unidimensional na direção r em regime permanente.
b) Determine o fluxo de calor por unidade de comprimento do duto;
c) Calcule o fluxo térmico nas superfícies interna e externa. Para tal, considere \mathrm{L}=1 m.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Geometria: duto cilíndrico com raio interno r_i=2{,}5\\ \text{cm}=0{,}025\\ \text{m} e raio externo r_e=3\\ \text{cm}=0{,}03\\ \text{m}.
  • Comprimento: L (mais adiante consideraremos L=1\\ \text{m} para o item (c)).
  • Temperaturas nas superfícies: T_i=120^\circ\mathrm{C} e T_e=80^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do aço: k=40\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    O enunciado pede:
    (a) deduzir uma expressão para o fluxo de calor por unidade de comprimento do duto (regime estacionário, condução radial unidimensional);
    (b) determinar numericamente esse fluxo por unidade de comprimento;
    (c) calcular o fluxo térmico nas superfícies interna e externa (usar L=1\\ \text{m}).
    Observação: aqui “fluxo por unidade de comprimento” significa a taxa de calor por comprimento do eixo do cilindro (unidade \mathrm{W/m}). Para as superfícies pedidas em (c) vamos fornecer o fluxo total em \mathrm{W} para L=1\\ \text{m} e as densidades de fluxo (fluxo por área) \mathrm{W/m^2} na superfície interna e externa.

Passo 2

Modelo físico e equação diferencial (aula rápida e intuitiva).
  • Em regime permanente e com simetria circunferencial e axial, a temperatura depende só de r. A lei de Fourier na direção radial dá o fluxo de calor através de uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L:
\dot{Q}(r) = -k\,A_r\,\frac{dT}{dr},
onde A_r é a área da superfície cilíndrica atravessada pelo calor. Para um cilindro, A_r=2\pi r L.
  • Em regime permanente e sem geração de calor, a taxa de calor \dot{Q}(r) é independente de r (o que entra numa casca sai na outra). Assim podemos escrever a equação diferencial para a temperatura a partir da condição de balanço:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0.
Explicando essa equação: é a forma radial da equação de condução estacionária sem geração; integrando-a obtemos o perfil de temperatura.

Passo 3

Integração da equação diferencial e forma geral da solução (passo-a-passo).
  • Integrando \dfrac{d}{dr}\!\left(r\dfrac{dT}{dr}\right)=0 uma vez:
r\frac{dT}{dr}=C_1,
onde C_1 é constante. Isolando a derivada:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r}.
  • Integrando novamente:
T(r)=C_1\ln r + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.
  • Aplicando as condições de contorno T(r_i)=T_i e T(r_e)=T_e, subtraindo as duas expressões:
T_i-T_e = C_1\ln\!\left(\frac{r_i}{r_e}\right) = -C_1\ln\!\left(\frac{r_e}{r_i}\right).
Portanto
C_1 = -\frac{T_i-T_e}{\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_i}\right)}.

Passo 4

Deduzir a expressão para o fluxo de calor por unidade de comprimento (item a).
  • A taxa de calor total (para comprimento L) em termos de C_1 vem de Fourier:
\dot{Q} = -k(2\pi r L)\frac{dT}{dr} = -k(2\pi r L)\frac{C_1}{r} = -2\pi k L C_1.
  • Substituindo C_1 obtido acima:
\dot{Q} = -2\pi k L\left(-\frac{T_i-T_e}{\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_i}\right)}\right) = 2\pi k L\,\frac{T_i-T_e}{\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_i}\right)}.
  • O fluxo por unidade de comprimento (isto é, \dot{q}'=\dot{Q}/L) fica então:
\boxed{\displaystyle \dot{q}'=\frac{\dot{Q}}{L}=\frac{2\pi k\,(T_i-T_e)}{\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_i}\right)}.}
Esta é a expressão pedida no item (a). Observação didática: a dependência em \ln(r_e/r_i) aparece porque a área disponível para condução varia com r; a solução é típica de condução radial em casca cilíndrica.

Passo 5

Cálculo numérico do fluxo por unidade de comprimento (item b). Conversões e números.
  • Valores: k=40\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, T_i-T_e=120-80=40\\ \mathrm{K}, r_i=0{,}025\\ \mathrm{m}, r_e=0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro calcule o denominador:
\ln\!\left(\frac{r_e}{r_i}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}03}{0{,}025}\right)=\ln(1{,}2)\approx 0{,}1823215568.
  • Numerador:
2\pi k (T_i-T_e)=2\pi\cdot 40\cdot 40 = 80\pi\cdot 40/40? \text{(mais simples:)}\;2\pi\cdot40\cdot40=10053{,}096491\\ \text{(valor intermediário)}.á
  • Portanto
\dot{q}'=\frac{10053{,}096491}{0{,}1823215568}\approx 55179{,}5\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando de forma razoável:
\dot{q}'\approx 5{,}52\times 10^{4}\\ \mathrm{W/m}.

Passo 6

Cálculo do fluxo térmico nas superfícies interna e externa para L=1\\ \text{m} (item c).
  • O fluxo total para L=1\\ \text{m} é simplesmente \dot{Q}=\dot{q}'\cdot L. Para L=1\\ \text{m}:
\dot{Q} = 55179{,}5\\ \mathrm{W}.
  • As densidades de fluxo (fluxo por unidade de área) nas superfícies cilíndricas são dadas por
\dot{q}''(r)=\frac{\dot{q}'}{2\pi r}.
Logo para a superfície interna ( r=r_i):
\dot{q}''_i=\frac{\dot{q}'}{2\pi r_i} \approx \frac{55179{,}5}{2\pi\cdot 0{,}025} \approx 3{,}51\times 10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
E para a superfície externa ( r=r_e):
\dot{q}''_e=\frac{\dot{q}'}{2\pi r_e} \approx \frac{55179{,}5}{2\pi\cdot 0{,}03} \approx 2{,}93\times 10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Observação: os fluxos por área são diferentes nas duas superfícies porque as áreas são diferentes; porém o fluxo total \dot{Q} é o mesmo atravessando qualquer seção cilíndrica (conservação de energia).

Resposta

(a) \displaystyle \dot{q}'=\frac{2\pi k\,(T_i-T_e)}{\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_i}\right)}
(b) \displaystyle \dot{q}'\approx 5{,}52\times 10^{4}\\ \mathrm{W/m}
(c) Para L=1\\ \text{m}: \displaystyle \dot{Q}=\dot{q}'L\approx 5{,}5179\times10^{4}\\ \mathrm{W};\quad \dot{q}''_i\approx 3{,}51\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}},\\ \dot{q}''_e\approx 2{,}93\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

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