3.7 Considere um encapsulamento eletrônico quadrado de lado
e espessura
100 nm , mantido a uma temperatura máxima admissível
e resfriado por um fluido a temperatura
, com coeficiente convectivo
. O material do encapsulamento é carbeto de silício, com condutividade térmica
. No caso aletado, o dissipador consiste em uma matriz de nanoaletas cilíndricas de diâmetro
e comprimento
. Admitindo regime permanente, propriedades constantes, coeficiente convectivo uniforme, resistência de contato desprezível e perdas desprezíveis pelas bordas do encapsulamento, determine a taxa máxima de calor que pode ser dissipada para manter a temperatura abaixo de
nos casos sem aletas e com nanoaletas.
Passo 1
Vou primeiro identificar claramente o que o enunciado pede e listar todos os dados fornecidos (peguei alguns desses números da imagem). O enunciado pede: determinar a taxa máxima de calor que pode ser dissipada para manter a temperatura do encapsulamento abaixo de
nos dois casos: sem aletas e com nanoaletas.
Dados fornecidos:
- Lado do encapsulamento:
. - Espessura do encapsulamento:
. - Temperatura máxima admissível do encapsulamento:
. - Temperatura do fluido:
. - Coeficiente de convecção:
. - Condutividade térmica do material (carbeto de silício):
. - No caso aletado (peguei esses dados da imagem): diâmetro das nanoaletas
e comprimento . - Hipóteses dadas: regime permanente, propriedades constantes,
uniforme, resistência de contato desprezível e perdas pelas bordas desprezíveis.
O que vamos calcular:
- Taxa máxima de calor dissipável sem aletas, supondo convecção nas faces externas.
- Taxa máxima de calor dissipável com as nanoaletas (matriz de aletas cilíndricas), considerando a contribuição de cada aleta e da área exposta do topo, e assumindo arranjo regular das aletas (ver Passo 6 para a hipótese de espaçamento).
Passo 2
Sem aletas — ideia física e fórmula básica.
Em regime permanente, para que a superfície do encapsulamento não ultrapasse
, a taxa máxima de calor removida pela convecção das faces deve satisfazer:
onde:
-
é a potência dissipada (W), -
é o coeficiente convectivo ( ), -
é a área total de troca térmica (m^2), -
(K).
Aqui a imagem indica convecção nas duas faces do encapsulamento (superior e inferior), e o enunciado não fala em perdas pelas bordas (desprezíveis). Portanto a área total de troca é a soma das duas faces:
Passo 3
Calcular numericamente
sem aletas.
Primeiro a diferença de temperatura:
Área das duas faces:
Potência máxima sem aletas:
Faço a conta em etapas:
Portanto,
Passo 4
Com nanoaletas — estratégia de resolução.
Vamos modelar cada nanoaleta como um cilindro reto perpendicular à superfície, preso por uma extremidade à base. A contribuição total à troca de calor por convecção provém de:
- a área lateral de todas as aletas,
- a área de topo (ponta) de todas as aletas,
- a área da superfície de base não ocupada pelas aletas (aberturas entre as bases circulares das aletas).
Para cada aleta, a transferência de calor lateral efetiva é dada por
, onde:
-
é o perímetro da seção transversal da aleta (para um cilindro ), -
é o comprimento da aleta, -
é a eficiência da aleta (adimensional), que leva em conta a queda de temperatura ao longo da aleta por condução interna, - além disso, há troca direta pela ponta:
com .
Para calcular
usamos o parâmetro
(forma padrão para aletas de pequena espessura):
onde
é a área da seção transversal da aleta (para cilindro
). A eficiência aproximada (para uma aleta cilíndrica curta com convecção lateral e ponta) pode ser tomada como
Vou calcular
,
e depois somar as contribuições de todas as aletas mais a área da base exposta.
Passo 5
Cálculo dos parâmetros geométricos e de condução da aleta.
Perímetro da seção:
Área de seção transversal:
Agora calculo
:
Substituindo valores numéricos (mostrando o resultado final numérico):
Produto
:
Como
, a eficiência fica muito próxima de 1:
Conclusão: cada nanoaleta é praticamente isoterma ao longo do comprimento para esses parâmetros, ou seja, eficiente.
Passo 6
Quantas aletas cabem na face — hipótese de arranjo.
Não foi dado o espaçamento entre aletas. Adoto a hipótese prática e simples de arranjo quadrado com passo igual ao diâmetro
(ou seja, cada aleta ocupa um quadrado de lado
). Essa hipótese é razoável para estimar uma matriz muito densa de nanoaletas e é necessária porque o enunciado não deu espaçamento. Assim:
é o número de aletas por face.
Calculo numérico:
Passo 7
Áreas por aleta e áreas totais por face.
Área lateral de uma aleta:
Área da ponta de uma aleta:
Áreas totais (por face):
Cálculo numérico (valores aproximados mostrados):
Área da face do encapsulamento não ocupada pelas bases circulares (área aberta):
Passo 8
Área efetiva de troca por face considerando eficiência da aleta.
A contribuição efetiva da parte lateral das aletas deve ser multiplicada pela eficiência
. Assim a área efetiva de convecção equivalente por face é:
Substituindo os números e
:
Logo:
Passo 9
Potência dissipada com aletas.
Potência por face:
Faço a conta:
Como há duas faces (superior e inferior) com matriz de aletas (o enunciado e a figura sugerem convecção em ambas as faces), a potência total é:
Arredondando a um número prático de dígitos significativos:
Observação: se alguém adotasse
(aproximação muito próxima), o resultado seria ligeiramente maior (
). A diferença é pequena porque
é quase 1.