3.7 Considere um encapsulamento eletrônico quadrado de lado W=10 \mu \mathrm{~m} e espessura d= 100 nm , mantido a uma temperatura máxima admissível T_{t}=85^{\circ} \mathrm{C} e resfriado por um fluido a temperatura T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente convectivo h=1 \times 10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. O material do encapsulamento é carbeto de silício, com condutividade térmica k=490 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. No caso aletado, o dissipador consiste em uma matriz de nanoaletas cilíndricas de diâmetro D=15 \mathrm{~nm} e comprimento L=300 \mathrm{~nm}. Admitindo regime permanente, propriedades constantes, coeficiente convectivo uniforme, resistência de contato desprezível e perdas desprezíveis pelas bordas do encapsulamento, determine a taxa máxima de calor que pode ser dissipada para manter a temperatura abaixo de 85^{\circ} \mathrm{C} nos casos sem aletas e com nanoaletas.

Passo 1

Vou primeiro identificar claramente o que o enunciado pede e listar todos os dados fornecidos (peguei alguns desses números da imagem). O enunciado pede: determinar a taxa máxima de calor que pode ser dissipada para manter a temperatura do encapsulamento abaixo de T_t nos dois casos: sem aletas e com nanoaletas.
Dados fornecidos:
  • Lado do encapsulamento: W=10\,\mu\mathrm{m}.
  • Espessura do encapsulamento: d=100\,\mathrm{nm}.
  • Temperatura máxima admissível do encapsulamento: T_t=85^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do fluido: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção: h=1\times10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Condutividade térmica do material (carbeto de silício): k=490\,\mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • No caso aletado (peguei esses dados da imagem): diâmetro das nanoaletas D=15\,\mathrm{nm} e comprimento L=300\,\mathrm{nm}.
  • Hipóteses dadas: regime permanente, propriedades constantes, h uniforme, resistência de contato desprezível e perdas pelas bordas desprezíveis.
O que vamos calcular:
  1. Taxa máxima de calor dissipável sem aletas, supondo convecção nas faces externas.
  2. Taxa máxima de calor dissipável com as nanoaletas (matriz de aletas cilíndricas), considerando a contribuição de cada aleta e da área exposta do topo, e assumindo arranjo regular das aletas (ver Passo 6 para a hipótese de espaçamento).

Passo 2

Sem aletas — ideia física e fórmula básica.
Em regime permanente, para que a superfície do encapsulamento não ultrapasse T_t, a taxa máxima de calor removida pela convecção das faces deve satisfazer:
\dot{Q}=h\,A\,\Delta T,
onde:
  • \dot{Q} é a potência dissipada (W),
  • h é o coeficiente convectivo ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}),
  • A é a área total de troca térmica (m^2),
  • \Delta T=T_t-T_\infty (K).
Aqui a imagem indica convecção nas duas faces do encapsulamento (superior e inferior), e o enunciado não fala em perdas pelas bordas (desprezíveis). Portanto a área total de troca é a soma das duas faces:
A=2W^2.

Passo 3

Calcular numericamente \dot{Q} sem aletas.
Primeiro a diferença de temperatura:
\Delta T = T_t - T_\infty = 85^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=65\,\mathrm{K}.
Área das duas faces:
A=2W^2=2\,(10\times10^{-6}\,\mathrm{m})^2 = 2\times(1{,}0\times10^{-10})\,\mathrm{m}^2 = 2{,}0\times10^{-10}\,\mathrm{m}^2.
Potência máxima sem aletas:
\dot{Q}_{\text{sem}} = h\,A\,\Delta T = 1\times10^{5}\times2{,}0\times10^{-10}\times65.
Faço a conta em etapas:
1\times10^{5}\times2{,}0\times10^{-10}=2{,}0\times10^{-5},
2{,}0\times10^{-5}\times65 = 130\times10^{-5} = 1{,}30\times10^{-3}\,\mathrm{W}.
Portanto,
\dot{Q}_{\text{sem}} = 1{,}30\times10^{-3}\,\mathrm{W}.

Passo 4

Com nanoaletas — estratégia de resolução.
Vamos modelar cada nanoaleta como um cilindro reto perpendicular à superfície, preso por uma extremidade à base. A contribuição total à troca de calor por convecção provém de:
  • a área lateral de todas as aletas,
  • a área de topo (ponta) de todas as aletas,
  • a área da superfície de base não ocupada pelas aletas (aberturas entre as bases circulares das aletas).
Para cada aleta, a transferência de calor lateral efetiva é dada por \eta\,h\,P\,L\,\Delta T, onde:
  • P é o perímetro da seção transversal da aleta (para um cilindro P=\pi D),
  • L é o comprimento da aleta,
  • \eta é a eficiência da aleta (adimensional), que leva em conta a queda de temperatura ao longo da aleta por condução interna,
  • além disso, há troca direta pela ponta: h\,A_{\text{tip}}\,\Delta T com A_{\text{tip}}=\pi D^2/4.
Para calcular \eta usamos o parâmetro m (forma padrão para aletas de pequena espessura):
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}},
onde A_c é a área da seção transversal da aleta (para cilindro A_c=\pi D^2/4). A eficiência aproximada (para uma aleta cilíndrica curta com convecção lateral e ponta) pode ser tomada como
\eta \approx \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL}.
Vou calcular m, \eta e depois somar as contribuições de todas as aletas mais a área da base exposta.

Passo 5

Cálculo dos parâmetros geométricos e de condução da aleta.
Perímetro da seção:
P=\pi D = \pi\,(15\times10^{-9}\,\mathrm{m}) = \pi\times15\times10^{-9}\,\mathrm{m}.
Área de seção transversal:
A_c=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(15\times10^{-9})^2}{4}.
Agora calculo m:
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Substituindo valores numéricos (mostrando o resultado final numérico):
P=\pi\cdot15\times10^{-9}\approx4{,}71239\times10^{-8}\,\mathrm{m},
A_c=\frac{\pi(15\times10^{-9})^2}{4}\approx1{,}76715\times10^{-16}\,\mathrm{m}^2,
m=\sqrt{\frac{1\times10^{5}\cdot 4{,}71239\times10^{-8}}{490\cdot 1{,}76715\times10^{-16}}}\approx2{,}32965\times10^{5}\,\mathrm{m}^{-1}.
Produto mL:
mL = 2{,}32965\times10^{5}\times 300\times10^{-9} \approx 0{,}06989.
Como mL\ll1, a eficiência fica muito próxima de 1:
\eta \approx \frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL} \approx \frac{\operatorname{tanh}(0{,}06989)}{0{,}06989}\approx 0{,}9988\\ (\text{aprox. }0{,}999).
Conclusão: cada nanoaleta é praticamente isoterma ao longo do comprimento para esses parâmetros, ou seja, eficiente.

Passo 6

Quantas aletas cabem na face — hipótese de arranjo.
Não foi dado o espaçamento entre aletas. Adoto a hipótese prática e simples de arranjo quadrado com passo igual ao diâmetro D (ou seja, cada aleta ocupa um quadrado de lado D). Essa hipótese é razoável para estimar uma matriz muito densa de nanoaletas e é necessária porque o enunciado não deu espaçamento. Assim:
N=\frac{W^2}{D^2}
é o número de aletas por face.
Calculo numérico:
N=\frac{(10\times10^{-6})^2}{(15\times10^{-9})^2}=\frac{1{,}0\times10^{-10}}{2{,}25\times10^{-16}}\approx 4{,}44444\times10^{5}.

Passo 7

Áreas por aleta e áreas totais por face.
Área lateral de uma aleta:
A_{\text{lat,1}} = P\,L = \pi D L.
Área da ponta de uma aleta:
A_{\text{tip,1}} = \frac{\pi D^2}{4}.
Áreas totais (por face):
A_{\text{lat,tot}} = N\,A_{\text{lat,1}} = N\pi D L,
A_{\text{tip,tot}} = N\,A_{\text{tip,1}} = N\frac{\pi D^2}{4}.
Cálculo numérico (valores aproximados mostrados):
A_{\text{lat,tot}} = 4{,}44444\times10^{5}\times\pi\times15\times10^{-9}\times300\times10^{-9}\approx 6{,}28319\times10^{-9}\,\mathrm{m}^2.
A_{\text{tip,tot}} = 4{,}44444\times10^{5}\times\frac{\pi (15\times10^{-9})^2}{4}\approx 7{,}8540\times10^{-11}\,\mathrm{m}^2.
Área da face do encapsulamento não ocupada pelas bases circulares (área aberta):
A_{\text{aberta}} = W^2 - A_{\text{tip,tot}} = 1{,}0\times10^{-10} - 7{,}8540\times10^{-11} \approx 2{,}1460\times10^{-11}\,\mathrm{m}^2.

Passo 8

Área efetiva de troca por face considerando eficiência da aleta.
A contribuição efetiva da parte lateral das aletas deve ser multiplicada pela eficiência \eta. Assim a área efetiva de convecção equivalente por face é:
A_{\text{eq,face}} = \eta\,A_{\text{lat,tot}} + A_{\text{tip,tot}} + A_{\text{aberta}}.
Substituindo os números e \eta\approx0{,}9988:
\eta\,A_{\text{lat,tot}}\approx 0{,}9988\times6{,}28319\times10^{-9}\approx6{,}27579\times10^{-9}\,\mathrm{m}^2,
A_{\text{tip,tot}} + A_{\text{aberta}} \approx 7{,}8540\times10^{-11} + 2{,}1460\times10^{-11} = 1{,}0000\times10^{-10}\,\mathrm{m}^2.
Logo:
A_{\text{eq,face}} \approx 6{,}27579\times10^{-9} + 1{,}0000\times10^{-10} = 6{,}37579\times10^{-9}\,\mathrm{m}^2.

Passo 9

Potência dissipada com aletas.
Potência por face:
\dot{Q}_{\text{face}} = h\,A_{\text{eq,face}}\,\Delta T = 1\times10^{5}\times6{,}37579\times10^{-9}\times65.
Faço a conta:
1\times10^{5}\times6{,}37579\times10^{-9} = 6{,}37579\times10^{-4},
6{,}37579\times10^{-4}\times65 = 4{,}14236\times10^{-2}\,\mathrm{W}.
Como há duas faces (superior e inferior) com matriz de aletas (o enunciado e a figura sugerem convecção em ambas as faces), a potência total é:
\dot{Q}_{\text{com}} = 2\,\dot{Q}_{\text{face}} \approx 2\times4{,}14236\times10^{-2} = 8{,}28472\times10^{-2}\,\mathrm{W}.
Arredondando a um número prático de dígitos significativos:
\dot{Q}_{\text{com}} \approx 8{,}28\times10^{-2}\,\mathrm{W}.
Observação: se alguém adotasse \eta=1 (aproximação muito próxima), o resultado seria ligeiramente maior ( \approx8{,}30\times10^{-2}\,\mathrm{W}). A diferença é pequena porque \eta é quase 1.

Resposta

\dot{Q}_{\text{sem}} = 1{,}30\times10^{-3}\,\mathrm{W}
\dot{Q}_{\text{com}} = 8{,}28\times10^{-2}\,\mathrm{W}

Exercícios relacionados