Considere a EDO abaixo:
y^{\prime}+y=y^{4}
a) Encontre a solução geral.
b) Encontre a solução que satisfaz y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y'+y=y^{4},
e pede duas coisas:
  • (a) encontrar a solução geral da EDO;
  • (b) encontrar a solução que satisfaz y(0)=1.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
  • É uma EDO de primeira ordem não linear.
  • Procuraremos soluções não-constantes por separação de variáveis, mas devemos também verificar soluções constantes (equilíbrios) que satisfaçam a EDO.

Passo 2

Transformar a EDO para uma forma separável. Reescrevendo,
y' = y^{4}-y = y\bigl(y^{3}-1\bigr).
Como y'=\dfrac{dy}{dx}, podemos separar as variáveis:
\frac{dy}{y^{4}-y}=dx.
Antes de integrar, é importante verificar soluções constantes (equilíbrios). Se y for constante então y'=0, logo precisamos de y^{4}-y=0, isto é
y(y^{3}-1)=0.
As soluções constantes reais são y\equiv 0 e y\equiv 1. Essas são soluções especiais que devemos mencionar separadamente (a obtenção por separação pode não os cobrir diretamente, especialmente y\equiv 0, pois dividir por y seria ilegal nesse caso).

Passo 3

Para integrar a esquerda, fatoramos o polinômio do denominador:
y^{4}-y = y(y^{3}-1)=y(y-1)\bigl(y^{2}+y+1\bigr).
Vamos decompor em frações parciais:
\frac{1}{y(y-1)(y^{2}+y+1)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{y-1}+\frac{Cy+D}{y^{2}+y+1}.
Escolhemos essa forma porque o denominador tem fatores lineares e um fator quadrático irredutível; para o quadrático usa-se um numerador linear Cy+D.

Passo 4

Encontrar A,B,C,D. Multiplicando ambos os lados por y(y-1)(y^{2}+y+1) obtemos
1 = A(y-1)(y^{2}+y+1) + B y (y^{2}+y+1) + (Cy+D)\,y(y-1).
Avalie em valores convenientes:
  • Em y=0: 1 = A(-1)(0+0+1) = -A, logo A=-1.
  • Em y=1: 1 = B\cdot 1\cdot(1+1+1)=3B, logo B=\dfrac{1}{3}.
Agora use comparação de coeficientes para achar C,D. Expandindo e juntando termos (ou usando o sistema resultante) obtem-se as equações (ao comparar coeficientes de y^{3},y^{2},y, constante):
  • Coeficiente de y^{3}: A+B+C=0.
  • Coeficiente de y^{2}: B + D - C = 0.
  • Coeficiente de y^{1}: B - D = 0.
  • Constante: -A = 1 (já usada).
Substituindo A=-1 e B=\dfrac{1}{3}:
  • De B-D=0 vem D=B=\dfrac{1}{3}.
  • De B+D-C=0 vem \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-C=0\Rightarrow C=\dfrac{2}{3}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{y(y-1)(y^{2}+y+1)} = -\frac{1}{y} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{y-1} + \frac{1}{3}\cdot\frac{2y+1}{y^{2}+y+1}.

Passo 5

Integrar ambos os lados. Temos
\int\frac{dy}{y^{4}-y} = \int\left(-\frac{1}{y} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{y-1} + \frac{1}{3}\cdot\frac{2y+1}{y^{2}+y+1}\right)dy.
Integrando termo a termo:
  • \displaystyle \int -\frac{1}{y}\,dy = -\ln|y|.
  • \displaystyle \int \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{y-1}\,dy = \frac{1}{3}\ln|y-1|.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{3}\cdot\frac{2y+1}{y^{2}+y+1}\,dy faça u=y^{2}+y+1, então du=(2y+1)dy. Assim
\int \frac{1}{3}\cdot\frac{2y+1}{y^{2}+y+1}\,dy = \frac{1}{3}\int\frac{du}{u} = \frac{1}{3}\ln\bigl(y^{2}+y+1\bigr).
Logo a integral total é
-\ln|y| + \frac{1}{3}\ln|y-1| + \frac{1}{3}\ln\bigl(y^{2}+y+1\bigr) = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Simplificar a expressão das somas de logaritmos. Multiplicando por 3 para evitar frações:
-3\ln|y| + \ln|y-1| + \ln\bigl(y^{2}+y+1\bigr) = 3x + C_{1},
com C_{1}=3C. Usando propriedades dos logaritmos (soma vira produto):
\ln\!\left(\frac{|y-1|\,(y^{2}+y+1)}{|y|^{3}}\right) = 3x + C_{1}.
Observação algebraica útil: (y-1)(y^{2}+y+1)=y^{3}-1. Assim, ignorando sinais que podem ser absorvidos na constante exponencial, podemos escrever
\ln\!\left(\frac{y^{3}-1}{y^{3}}\right) = 3x + C_{1}.
Exponenciando:
\frac{y^{3}-1}{y^{3}} = K e^{3x},
onde K=e^{C_{1}} é constante real (pode ser positiva ou negativa; sinais absolutos foram absorvidos em K). Reescrevendo:
1-\frac{1}{y^{3}} = K e^{3x}.

Passo 7

Isolar y. Da última igualdade vem
\frac{1}{y^{3}} = 1 - K e^{3x},
logo
y^{3} = \frac{1}{1 - K e^{3x}}.
Tomando a raiz cúbica (raiz real):
y(x)=\bigl(1 - K e^{3x}\bigr)^{-1/3},
onde K é constante arbitrária. Junto com as observações anteriores sobre soluções constantes, as soluções reais da EDO são:
  • Família geral obtida por separação: \displaystyle y(x)=\bigl(1 - K e^{3x}\bigr)^{-1/3} com K constante real (em intervalos onde o denominador não é zero).
  • As soluções constantes especiais: y\equiv 0 (não representada pela fórmula acima) e y\equiv 1 (corresponde a K=0 na fórmula).
Comentário sobre unicidade: a função f(y)=y^{4}-y é polinomial, portanto contínua e Lipschitz em qualquer intervalo fechado em y; pelo teorema de existência e unicidade, para uma condição inicial dada existe uma única solução local que se estende até onde a solução permanece finita. Assim, ao aplicar uma C.I. deve-se obter a única solução indicada.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(0)=1. Usando a fórmula geral (ou reconhecendo que y\equiv 1 é solução):
  • Pela fórmula, em x=0 temos y(0)^{3}=\dfrac{1}{1-K}. Como y(0)=1 isso dá \dfrac{1}{1-K}=1, ou seja 1-K=1\Rightarrow K=0.
  • Com K=0 a solução da família é y(x)=1 para todo x (solução constante). Pela unicidade, essa é a única solução com y(0)=1.

Resposta

\displaystyle y(x)=\bigl(1 - K e^{3x}\bigr)^{-1/3}, com K constante real, e também a solução constante y\equiv 0.\n
\displaystylePara y(0)=1: y(x)\equiv 1 (corresponde a K=0).

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