Considere a EDO abaixo:
a) Encontre a solução geral.
b) Encontre a solução que satisfaz
.
b) Encontre a solução que satisfaz
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede duas coisas:
- (a) encontrar a solução geral da EDO;
- (b) encontrar a solução que satisfaz
.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
- É uma EDO de primeira ordem não linear.
- Procuraremos soluções não-constantes por separação de variáveis, mas devemos também verificar soluções constantes (equilíbrios) que satisfaçam a EDO.
Passo 2
Transformar a EDO para uma forma separável. Reescrevendo,
Como
, podemos separar as variáveis:
Antes de integrar, é importante verificar soluções constantes (equilíbrios). Se
for constante então
, logo precisamos de
, isto é
As soluções constantes reais são
e
. Essas são soluções especiais que devemos mencionar separadamente (a obtenção por separação pode não os cobrir diretamente, especialmente
, pois dividir por
seria ilegal nesse caso).
Passo 3
Para integrar a esquerda, fatoramos o polinômio do denominador:
Vamos decompor em frações parciais:
Escolhemos essa forma porque o denominador tem fatores lineares e um fator quadrático irredutível; para o quadrático usa-se um numerador linear
.
Passo 4
Encontrar
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Avalie em valores convenientes:
- Em
: , logo . - Em
: , logo .
Agora use comparação de coeficientes para achar
. Expandindo e juntando termos (ou usando o sistema resultante) obtem-se as equações (ao comparar coeficientes de
, constante):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Constante:
(já usada).
Substituindo
e
:
- De
vem . - De
vem .
Portanto a decomposição é
Passo 5
Integrar ambos os lados. Temos
Integrando termo a termo:
-
-
- Para
faça , então . Assim
Logo a integral total é
onde
é constante de integração.
Passo 6
Simplificar a expressão das somas de logaritmos. Multiplicando por
para evitar frações:
com
. Usando propriedades dos logaritmos (soma vira produto):
Observação algebraica útil:
. Assim, ignorando sinais que podem ser absorvidos na constante exponencial, podemos escrever
Exponenciando:
onde
é constante real (pode ser positiva ou negativa; sinais absolutos foram absorvidos em
). Reescrevendo:
Passo 7
Isolar
. Da última igualdade vem
logo
Tomando a raiz cúbica (raiz real):
onde
é constante arbitrária. Junto com as observações anteriores sobre soluções constantes, as soluções reais da EDO são:
- Família geral obtida por separação:
com constante real (em intervalos onde o denominador não é zero). - As soluções constantes especiais:
(não representada pela fórmula acima) e (corresponde a na fórmula).
Comentário sobre unicidade: a função
é polinomial, portanto contínua e Lipschitz em qualquer intervalo fechado em
; pelo teorema de existência e unicidade, para uma condição inicial dada existe uma única solução local que se estende até onde a solução permanece finita. Assim, ao aplicar uma C.I. deve-se obter a única solução indicada.
Passo 8
Aplicar a condição inicial
. Usando a fórmula geral (ou reconhecendo que
é solução):
- Pela fórmula, em
temos . Como isso dá , ou seja . - Com
a solução da família é para todo (solução constante). Pela unicidade, essa é a única solução com .