Resolva o PVI:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e pede a solução que satisfaça condições iniciais. Especificamente, temos as informações:
  • A equação diferencial: y''-4y'+3y=0.
  • As condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Ideia geral e por que procurar soluções do tipo exponencial. Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução da forma y(x)=e^{rx}, porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em r. Vamos aplicar isso.
Calcule as derivadas de y=e^{rx}:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2} e^{rx} - 4 r e^{rx} + 3 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e obtemos a equação característica (polinomial):
r^{2} - 4r + 3 = 0.

Passo 3

Resolver a equação característica. A equação
r^{2} - 4r + 3 = 0
pode ser fatorada (procure dois números que multiplicam 3 e somam -4):
r^{2}-4r+3=(r-1)(r-3)=0.
Logo as raízes são
r_1 = 1,\qquad r_2 = 3,
que são reais e distintas. Para esse caso (raízes reais distintas) a forma geral da solução da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para encontrar C_{1} e C_{2}. Primeiro calcule y'(x):
y'(x)=C_{1} e^{x} + 3 C_{2} e^{3x}.
Agora use y(0)=1. Substituindo x=0 em y(x):
y(0)=C_{1} e^{0} + C_{2} e^{0} = C_{1}+C_{2}=1.
Depois use y'(0)=0. Substituindo x=0 em y'(x):
y'(0)=C_{1} e^{0} + 3C_{2} e^{0} = C_{1} + 3C_{2}=0.
Isso dá o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}+3C_{2}=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_{1}+3C_{2})-(C_{1}+C_{2})=0-1 \quad\Rightarrow\quad 2C_{2}=-1.
Logo
C_{2}=-\tfrac{1}{2}.
E então
C_{1}=1-C_{2}=1-(-\tfrac{1}{2})=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.]

Passo 5

Escrever a solução final substituindo C_{1} e C_{2} na forma geral. Assim
y(x)=\tfrac{3}{2} e^{x} - \tfrac{1}{2} e^{3x}.
Fazendo uma checagem rápida (só para garantir): em x=0 obtemos y(0)=\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}=1, e y'(x)=\tfrac{3}{2} e^{x} - \tfrac{3}{2} e^{3x} y'(0)=\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}=0, então as condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

y(x)=\tfrac{3}{2}e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{3x}

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