Resolva o PVI:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e pede a solução que satisfaça condições iniciais. Especificamente, temos as informações:
- A equação diferencial:
- As condições iniciais:
O que se pede é encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Ideia geral e por que procurar soluções do tipo exponencial. Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução da forma
porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em
. Vamos aplicar isso.
Calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obtemos a equação característica (polinomial):
Passo 3
Resolver a equação característica. A equação
pode ser fatorada (procure dois números que multiplicam
e somam
):
Logo as raízes são
que são reais e distintas. Para esse caso (raízes reais distintas) a forma geral da solução da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro calcule
:
Agora use
. Substituindo
em
:
Depois use
. Substituindo
em
:
Isso dá o sistema linear para
:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Logo
E então
Passo 5
Escrever a solução final substituindo
e
na forma geral. Assim
Fazendo uma checagem rápida (só para garantir): em
obtemos
, e
dá
, então as condições iniciais são satisfeitas.