Considere a EDO:
\left(2 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0
a) Encontre a solução geral.
b) Encontre a solução que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(2 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0,
e pede duas coisas:
(a) encontrar a solução geral da EDO;
(b) encontrar a solução particular que satisfaz \,y(1)=1.
Informações úteis que já estão explícitas no enunciado:
  • Podemos identificar as funções que multiplicam d x e d y. Ou seja, M(x,y)=2 x y+y^{2}, \qquad N(x,y)=x^{2}+2 x y.
  • A condição inicial para a parte (b) é x=1 e y(1)=1.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática do conceito que vamos usar).
  • Quando uma equação tem a forma M(x,y)\,d x+N(x,y)\,d y=0,uma abordagem muito útil é verificar se ela é exata. Uma equação é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que \frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).Nesse caso \Phi(x,y)= constante é a solução implícita.
  • Uma condição prática para testar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é verificar se \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.Isso porque para \Phi suficientemente suave vale \frac{\partial^2\Phi}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2\Phi}{\partial x\partial y}.

Passo 3

Aplicando o teste de exatidão ao nosso caso:
  • Calcular \dfrac{\partial M}{\partial y}. Como M(x,y)=2xy+y^{2}, \frac{\partial M}{\partial y}=2x+2y.
  • Calcular \dfrac{\partial N}{\partial x}. Como N(x,y)=x^{2}+2xy, \frac{\partial N}{\partial x}=2x+2y.
  • Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} (ambas iguais a 2x+2y), a equação é exata. Ótimo — podemos buscar \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=M.

Passo 4

Construção da função potencial \Phi(x,y) (passo a passo):
  • Partimos de \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=2xy+y^{2}.
  • Integramos M em relação a x, tratando y como constante. Lembre que ao integrar em x pode surgir uma “constante” de integração que, por depender de y, escrevemos como uma função h(y): \Phi(x,y)=\int (2xy+y^{2})\,dx = x^{2}y + x y^{2} + h(y).Explicando a integração: \int 2xy\,dx = 2y\int x\,dx = 2y\cdot \dfrac{x^{2}}{2}=x^{2}y. E \int y^{2}\,dx = y^{2}x, porque y^{2} é constante em relação a x.

Passo 5

Determinar h(y) comparando com \partial \Phi/\partial y=N:
  • Calcular \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} a partir da expressão encontrada: \frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{2}+2xy+h'(y).Aqui h'(y) é a derivada de h em relação a y.
  • Igualar ao N(x,y) que é x^{2}+2xy: x^{2}+2xy+h'(y)=x^{2}+2xy.
  • Subtraindo x^{2}+2xy dos dois lados resulta h'(y)=0. Portanto h(y) é constante: h(y)=C_{0},onde C_{0} é uma constante arbitrária.

Passo 6

Escrever a solução implícita geral:
  • Como \Phi(x,y)=x^{2}y+x y^{2}+C_{0}, a condição \Phi(x,y)= constante geral (denotada por C) produz a solução implícita x^{2}y+x y^{2}=C,onde C é uma constante arbitrária (absorvemos o C_{0} nela). Essa é a solução geral em forma implícita.
  • Podemos fatorar para deixar mais elegante: x^{2}y+x y^{2}=x y (x+y),então a solução geral pode ser escrita como x y (x+y)=C.

Passo 7

Observação sobre exatidão da forma explícita para y(x):
  • Se for necessário expressar y explicitamente em função de x, podemos tratar x y (x+y)=C como uma equação quadrática em y. Dividindo por x (para x\neq0) obtemos y^{2}+x y-\frac{C}{x}=0.Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para resolver em y: y(x)=\frac{-x\pm\sqrt{x^{2}+4\frac{C}{x}}}{2}=\frac{-x\pm\sqrt{x^{2}+\dfrac{4C}{x}}}{2}.
  • Porém, na maioria dos problemas a forma implícita x y (x+y)=C é perfeitamente aceitável e mais simples de apresentar. Se for pedir domínio ou ramo da solução, haveria que escolher o sinal \pm compatível com a condição inicial.

Passo 8

Aplicar a condição inicial \,y(1)=1 para encontrar a solução particular:
  • Substituir x=1 e y=1 em x y (x+y)=C: 1\cdot 1\cdot(1+1)=C \quad\Rightarrow\quad C=2.
  • Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é x y (x+y)=2.
  • Se quisermos resolver explicitamente para y com esse C, substituímos C=2 na fórmula de Bhaskara: y(x)=\frac{-x\pm\sqrt{x^{2}+\dfrac{8}{x}}}{2},e escolheríamos o sinal que satisfaz y(1)=1. (Para x=1 a expressão fica y(1)=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2}, que dá 1 com o sinal +, consistente.)

Resposta

(a) x y (x+y)=C
(b) x y (x+y)=2

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