Considere a EDO:
a) Encontre a solução geral.
b) Encontre a solução que satisfaz
.
b) Encontre a solução que satisfaz
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
(a) encontrar a solução geral da EDO;
(b) encontrar a solução particular que satisfaz .
(a) encontrar a solução geral da EDO;
(b) encontrar a solução particular que satisfaz
Informações úteis que já estão explícitas no enunciado:
- Podemos identificar as funções que multiplicam
e . Ou seja, - A condição inicial para a parte (b) é
e .
Passo 2
Ideia do método (explicação didática do conceito que vamos usar).
- Quando uma equação tem a forma
uma abordagem muito útil é verificar se ela é exata. Uma equação é exata se existe uma função tal que Nesse caso constante é a solução implícita. - Uma condição prática para testar exatidão (quando
e têm derivadas parciais contínuas) é verificar se Isso porque para suficientemente suave vale .
Passo 3
Aplicando o teste de exatidão ao nosso caso:
- Calcular
. Como , - Calcular
. Como , - Como
(ambas iguais a ), a equação é exata. Ótimo — podemos buscar tal que .
Passo 4
Construção da função potencial
(passo a passo):
- Partimos de
. - Integramos
em relação a , tratando como constante. Lembre que ao integrar em pode surgir uma “constante” de integração que, por depender de , escrevemos como uma função : Explicando a integração: . E , porque é constante em relação a .
Passo 5
Determinar
comparando com
:
- Calcular
a partir da expressão encontrada: Aqui é a derivada de em relação a . - Igualar ao
que é : - Subtraindo
dos dois lados resulta . Portanto é constante: onde é uma constante arbitrária.
Passo 6
Escrever a solução implícita geral:
- Como
, a condição constante geral (denotada por ) produz a solução implícita onde é uma constante arbitrária (absorvemos o nela). Essa é a solução geral em forma implícita. - Podemos fatorar para deixar mais elegante:
então a solução geral pode ser escrita como
Passo 7
Observação sobre exatidão da forma explícita para
:
- Se for necessário expressar
explicitamente em função de , podemos tratar como uma equação quadrática em . Dividindo por (para ) obtemos Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para resolver em : - Porém, na maioria dos problemas a forma implícita
é perfeitamente aceitável e mais simples de apresentar. Se for pedir domínio ou ramo da solução, haveria que escolher o sinal compatível com a condição inicial.
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para encontrar a solução particular:
- Substituir
e em : - Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
- Se quisermos resolver explicitamente para
com esse , substituímos na fórmula de Bhaskara: e escolheríamos o sinal que satisfaz . (Para a expressão fica , que dá com o sinal , consistente.)
Resposta
(a)
(b)