Considere a EDO de Bernoulli:
Faça a substituição
e escreva a EDO correspondente nas variáveis
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Bernoulli, que é um tipo especial de equação que podemos resolver usando uma substituição adequada. O enunciado nos dá a EDO:
E nos pede para fazer a substitição
e reescrever a EDO nas variáveis
e
. Para isso, vamos precisar usar técnicas de substituição em EDOs, especificamente para resolver equações de Bernoulli.
Passo 2
Vamos começar fazendo a substituição proposta:
. Isso significa que queremos expressar
em termos de
. Para substituir na EDO, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
em função de
, que por sua vez é função de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na EDO original:
Simplificando cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo (lado direito da equação):
Passo 4
Substituindo os termos simplificados na equação, temos:
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar
:
Primeiro, movemos
para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Portanto, a EDO transformada nas variáveis
e
é:
Resposta
A EDO correspondente nas variáveis
e
é: