Considere a EDO de Bernoulli:
x dy/dx - y = y^3
Faça a substituição y = z^(-1/2) e escreva a EDO correspondente nas variáveis x e z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Bernoulli, que é um tipo especial de equação que podemos resolver usando uma substituição adequada. O enunciado nos dá a EDO:
E nos pede para fazer a substitição e reescrever a EDO nas variáveis e . Para isso, vamos precisar usar técnicas de substituição em EDOs, especificamente para resolver equações de Bernoulli.

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição proposta: . Isso significa que queremos expressar em termos de . Para substituir na EDO, precisamos encontrar a derivada de em relação a .
Primeiro, derivamos em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar em função de , que por sua vez é função de .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na EDO original:
Simplificando cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo (lado direito da equação):

Passo 4

Substituindo os termos simplificados na equação, temos:
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar :
Primeiro, movemos para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Portanto, a EDO transformada nas variáveis e é:

Resposta

A EDO correspondente nas variáveis e é:

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