Calcule a inversa da transformada de Laplace de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de
. Isso está relacionado ao estudo das Transformadas de Laplace, que são usadas para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente a propriedade do deslocamento no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte principal da função, ou seja,
. Precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace dessa fração. Sabemos que:
No nosso caso,
, porque
.
Passo 3
Vamos separar a fração
em duas partes:
Agora, aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
Então, a transformada inversa de
é:
Passo 4
Agora, vamos lidar com o termo
. Isso representa um deslocamento no tempo na transformada inversa. A propriedade de deslocamento na transformada de Laplace diz que:
Onde
é a função degrau de Heaviside, e
é a função deslocada.
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Aplicando a propriedade de deslocamento:
Isso significa que a função começa a agir a partir de
.
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: