1. Considere a EDO linear de 3^{\mathrm{a}} ordem
y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime}=\operatorname{sec} (2 t)
Determine a solução geral da equação.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária de 3ª ordem dada por
y^{\prime\prime\prime}+4y^{\prime}=\operatorname{sec}(2t).
Informações fornecidas:
  • A equação é linear e não homogênea de 3ª ordem.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é \operatorname{sec}(2t).
  • Não há condições iniciais; portanto busca-se a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Redução de ordem simples: observe que a equação pode ser escrita usando D=\dfrac{d}{dt} como (D^3+4D)y=0+\operatorname{sec}(2t). Isso sugere tentar a mudança
u(t)=y'(t).
Com u=y' temos u' = y'' e u''=y'''. Substituindo na equação original obtemos uma EDO de 2ª ordem para u:
u''+4u=\operatorname{sec}(2t).
Agora resolvemos essa EDO para u e depois integramos para obter y.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada a u:
u''+4u=0.
Procuramos soluções do tipo e^{rt}: o polinômio característico é r^2+4=0, cujas raízes são r=\pm 2i. Logo um conjunto fundamental de soluções é
u_1(t)=\cos(2t),\qquad u_2(t)=\sin(2t).
A solução geral da homogênea é
u_h(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
com A,B constantes.

Passo 4

Encontrar uma solução particular u_p da EDO não homogênea u''+4u=\operatorname{sec}(2t) por variação de parâmetros.
  • As funções fundamentais são u_1=\cos(2t) e u_2=\sin(2t).
  • O wronskiano é
W(t)=\begin{vmatrix}\cos(2t) & \sin(2t)\\\\ -2\sin(2t) & 2\cos(2t)\end{vmatrix} =2\cos^2(2t)+2\sin^2(2t)=2.
Como W é constante e igual a 2, as fórmulas da variação de parâmetros para uma 2ª ordem dão (escrevendo f(t)=\operatorname{sec}(2t)):
v_1'(t)=-\frac{u_2(t)\,f(t)}{W}=-\frac{\sin(2t)\operatorname{sec}(2t)}{2}=-\frac{1}{2}\tan(2t),
v_2'(t)=\frac{u_1(t)\,f(t)}{W}=\frac{\cos(2t)\operatorname{sec}(2t)}{2}=\frac{1}{2}.
  • Integrando:
v_1(t)=\int -\frac{1}{2}\tan(2t)\,dt=-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\ln\lvert\cos(2t)\rvert\right)=\frac{1}{4}\ln\lvert\cos(2t)\rvert,
onde usei \int \tan(2t)\,dt=-\tfrac{1}{2}\ln\lvert\cos(2t)\rvert.
v_2(t)=\int \frac{1}{2}\,dt=\frac{t}{2}.
  • A solução particular para u é
u_p(t)=v_1(t)u_1(t)+v_2(t)u_2(t) =\frac{1}{4}\cos(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert+\frac{t}{2}\sin(2t).

Passo 5

A solução geral para u=y' é a soma da homogênea com a particular:
u(t)=y'(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)+\frac{1}{4}\cos(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert+\frac{t}{2}\sin(2t).
Agora integramos u para obter y.

Passo 6

Integração termo a termo de y'(t)=u(t).
  • Integrais das partes homogêneas:
\int A\cos(2t)\,dt=\frac{A}{2}\sin(2t),\qquad \int B\sin(2t)\,dt=-\frac{B}{2}\cos(2t).
Esses termos serão incorporados nas constantes arbitrárias finais (ver abaixo).
  • Integral do termo \dfrac{t}{2}\sin(2t):
    usar integração por partes com p=\dfrac{t}{2} e q'=\sin(2t), então p'=\dfrac{1}{2}, q=-\dfrac{1}{2}\cos(2t). Assim
\int \frac{t}{2}\sin(2t)\,dt=-\frac{t}{4}\cos(2t)+\frac{1}{4}\int \cos(2t)\,dt =-\frac{t}{4}\cos(2t)+\frac{1}{8}\sin(2t).
  • Integral do termo \dfrac{1}{4}\cos(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert:
    fazer integração por partes com r=\ln\lvert\cos(2t)\rvert e s'=\dfrac{1}{4}\cos(2t). Então r'=-2\tan(2t) e s=\dfrac{1}{8}\sin(2t). Logo
\int \frac{1}{4}\cos(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert\,dt =\frac{1}{8}\sin(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert -\int \frac{1}{8}\sin(2t)\bigl(-2\tan(2t)\bigr)\,dt.
O integrando interno simplifica:
-\int \frac{1}{8}\sin(2t)\bigl(-2\tan(2t)\bigr)\,dt =\frac{1}{4}\int \frac{\sin^2(2t)}{\cos(2t)}\,dt =\frac{1}{4}\int\bigl(\operatorname{sec}(2t)-\cos(2t)\bigr)\,dt,
pois \sin^2(2t)=1-\cos^2(2t). Então
\int \frac{1}{4}\cos(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert\,dt =\frac{1}{8}\sin(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert +\frac{1}{4}\left(\int \operatorname{sec}(2t)\,dt-\int \cos(2t)\,dt\right).
As integrais conhecidas são \int \cos(2t)\,dt=\tfrac{1}{2}\sin(2t) e \int \operatorname{sec}(2t)\,dt=\tfrac{1}{2}\ln\lvert\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\rvert. Portanto
\int \frac{1}{4}\cos(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert\,dt =\frac{1}{8}\sin(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert +\frac{1}{8}\ln\lvert\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\rvert -\frac{1}{8}\sin(2t).

Passo 7

Somando as integrais parciais para formar y_p (soma das integrais dos termos não homogêneos) e reunindo termos, obtemos:
  • Da integração de \dfrac{1}{4}\cos(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert veio
\frac{1}{8}\sin(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert+\frac{1}{8}\ln\lvert\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\rvert-\frac{1}{8}\sin(2t).
  • Da integração de \dfrac{t}{2}\sin(2t) veio
-\frac{t}{4}\cos(2t)+\frac{1}{8}\sin(2t).
Os termos -\tfrac{1}{8}\sin(2t) e +\tfrac{1}{8}\sin(2t) se cancelam. Assim uma função particular y_p que satisfaz y_p'''+4y_p'=\operatorname{sec}(2t) é
y_p(t)=\frac{1}{8}\sin(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert+\frac{1}{8}\ln\lvert\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\rvert-\frac{t}{4}\cos(2t).

Passo 8

A solução geral da equação original é a soma da solução geral da homogênea de 3ª ordem com essa particular. A parte homogênea da equação original (com D(D^2+4)) tem como base 1,\cos(2t),\sin(2t), portanto a solução geral é
y(t)=C_1+C_2\cos(2t)+C_3\sin(2t) +\frac{1}{8}\sin(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert+\frac{1}{8}\ln\lvert\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\rvert-\frac{t}{4}\cos(2t),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_1+C_2\cos(2t)+C_3\sin(2t) +\frac{1}{8}\sin(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert+\frac{1}{8}\ln\lvert\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\rvert-\frac{t}{4}\cos(2t).

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