O termo não homogêneo (lado direito) é \operatorname{sec}(2t).
Não há condições iniciais; portanto busca-se a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Redução de ordem simples: observe que a equação pode ser escrita usando D=\dfrac{d}{dt} como (D^3+4D)y=0+\operatorname{sec}(2t). Isso sugere tentar a mudança
u(t)=y'(t).
Com u=y' temos u' = y'' e u''=y'''. Substituindo na equação original obtemos uma EDO de 2ª ordem para u:
u''+4u=\operatorname{sec}(2t).
Agora resolvemos essa EDO para u e depois integramos para obter y.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada a u:
u''+4u=0.
Procuramos soluções do tipo e^{rt}: o polinômio característico é r^2+4=0, cujas raízes são r=\pm 2i. Logo um conjunto fundamental de soluções é
u_1(t)=\cos(2t),\qquad u_2(t)=\sin(2t).
A solução geral da homogênea é
u_h(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
com A,B constantes.
Passo 4
Encontrar uma solução particular u_p da EDO não homogênea u''+4u=\operatorname{sec}(2t) por variação de parâmetros.
As funções fundamentais são u_1=\cos(2t) e u_2=\sin(2t).
Esses termos serão incorporados nas constantes arbitrárias finais (ver abaixo).
Integral do termo \dfrac{t}{2}\sin(2t):
usar integração por partes com p=\dfrac{t}{2} e q'=\sin(2t), então p'=\dfrac{1}{2}, q=-\dfrac{1}{2}\cos(2t). Assim
Integral do termo \dfrac{1}{4}\cos(2t)\ln\lvert\cos(2t)\rvert:
fazer integração por partes com r=\ln\lvert\cos(2t)\rvert e s'=\dfrac{1}{4}\cos(2t). Então r'=-2\tan(2t) e s=\dfrac{1}{8}\sin(2t). Logo
As integrais conhecidas são \int \cos(2t)\,dt=\tfrac{1}{2}\sin(2t) e \int \operatorname{sec}(2t)\,dt=\tfrac{1}{2}\ln\lvert\operatorname{sec}(2t)+\tan(2t)\rvert. Portanto
Os termos -\tfrac{1}{8}\sin(2t) e +\tfrac{1}{8}\sin(2t) se cancelam. Assim uma função particular y_p que satisfaz y_p'''+4y_p'=\operatorname{sec}(2t) é
A solução geral da equação original é a soma da solução geral da homogênea de 3ª ordem com essa particular. A parte homogênea da equação original (com D(D^2+4)) tem como base 1,\cos(2t),\sin(2t), portanto a solução geral é