- Considere a equação diferencial
Sabe-se que a função
$$y_{1}(t)=t^{2}é uma solução da equação homogênea associada.
(a) Encontre uma segunda solução linearmente independente
da equação homogênea.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a equação diferencial
- Informação importante: a função
é uma solução da equação homogênea associada. - Pergunta (parte (a)): encontre uma segunda solução linearmente independente
da equação homogênea associada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação homogênea associada é obtida removendo o termo não homogêneo:
- Podemos dividir por
porque . - Já conhecemos uma solução
; precisamos de outra que não seja múltiplo de .
Passo 2
Preparar a equação homogênea em forma padrão e justificar divisão:
- A equação homogênea é
- Dividindo por
(válido pois ) obtemos a forma
Aqui não há termo em
(ou seja, o coeficiente de
é zero).
Passo 3
Apresentar a ideia do método usado (redução de ordem), sem pular passos:
- Quando se conhece uma solução
de uma equação linear de segunda ordem, uma técnica padrão para achar uma segunda solução é assumir que a segunda solução tem a forma
onde
é uma função desconhecida a determinar. Essa estratégia se chama redução de ordem porque reduz o problema para uma equação de ordem mais baixa para
.
- Explicação do porquê: ao substituir
na equação homogênea, termos com multiplicando a equação satisfeita por desaparecem, sobrando uma equação para (ou para ), que é de primeira ordem.
Passo 4
Calcular
e
com
e substituir na homogênea:
- Derivando,
- Substituindo em
:
- Como
satisfaz a homogênea, temos . Usando isso no termo com simplifica-se:
Portanto sobra a equação
Passo 5
Reduzir a ordem definindo
e obter equação de primeira ordem:
- Dividindo por
(novamente e para ):
- Colocando
(então ) obtemos a equação de primeira ordem
- Esta é uma equação linear de primeira ordem para
. A solução geral pode ser obtida por separação ou pelo fator integrante.
Passo 6
Resolver para
usando a função conhecida
:
- Calcular
. Como , tem-se , logo
- Substituindo na equação para
:
- Esta é separável. Escrevendo
e integrando:
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Integrar para obter
e, em seguida,
:
- Lembrando que
, temos
- Integrando em
:
- Tomando
e descartando a parte constante (pois constante só reproduz múltiplos de ), podemos escolher e desprezar . Assim uma escolha conveniente é
- Então a segunda solução é
- Como multiplicar por constante não altera independência linear, podemos escolher a forma mais simples
Passo 8
Verificar independência linear (checagem via Wronskiano):
- Calcular o Wronskiano de
e :
- Como
e ,
- O Wronskiano é constante
para , logo e são linearmente independentes em .