1. Considere a equação diferencial
t^{2} y^{\prime \prime}-2 y=3 t^{2}-1, \quad t>0 .
Sabe-se que a função
$$y_{1}(t)=t^{2}é uma solução da equação homogênea associada.
(a) Encontre uma segunda solução linearmente independente y_{2}(t) da equação homogênea.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a equação diferencial
t^{2}y''-2y=3t^{2}-1,\quad t>0.
  • Informação importante: a função \,y_{1}(t)=t^{2}\, é uma solução da equação homogênea associada.
  • Pergunta (parte (a)): encontre uma segunda solução linearmente independente \,y_{2}(t)\, da equação homogênea associada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação homogênea associada é obtida removendo o termo não homogêneo: \,t^{2}y''-2y=0,\; t>0.
  • Podemos dividir por t^{2} porque t>0.
  • Já conhecemos uma solução \,y_{1}(t)=t^{2}; precisamos de outra que não seja múltiplo de y_{1}.

Passo 2

Preparar a equação homogênea em forma padrão e justificar divisão:
  • A equação homogênea é
t^{2}y''-2y=0.
  • Dividindo por t^{2} (válido pois t>0) obtemos a forma
y'' - \frac{2}{t^{2}}\,y = 0.
Aqui não há termo em y' (ou seja, o coeficiente de y' é zero).

Passo 3

Apresentar a ideia do método usado (redução de ordem), sem pular passos:
  • Quando se conhece uma solução \,y_{1}(t)\, de uma equação linear de segunda ordem, uma técnica padrão para achar uma segunda solução é assumir que a segunda solução tem a forma
y(t)=v(t)\,y_{1}(t),
onde v(t) é uma função desconhecida a determinar. Essa estratégia se chama redução de ordem porque reduz o problema para uma equação de ordem mais baixa para v'.
  • Explicação do porquê: ao substituir y=v y_{1} na equação homogênea, termos com v multiplicando a equação satisfeita por y_{1} desaparecem, sobrando uma equação para v' (ou para u=v'), que é de primeira ordem.

Passo 4

Calcular y' e y'' com y=v y_{1} e substituir na homogênea:
  • Derivando,
y' = v' y_{1} + v y_{1}',
y'' = v'' y_{1} + 2 v' y_{1}' + v y_{1}''.
  • Substituindo em \,t^{2}y''-2y=0:
t^{2}\bigl(v'' y_{1} + 2 v' y_{1}' + v y_{1}''\bigr) - 2(v y_{1}) = 0.
  • Como y_{1} satisfaz a homogênea, temos \,t^{2}y_{1}''-2y_{1}=0. Usando isso no termo com v y_{1}'' simplifica-se:
t^{2}v'' y_{1} + 2t^{2}v' y_{1}' + v\bigl(t^{2}y_{1}'' - 2y_{1}\bigr) = t^{2}v'' y_{1} + 2t^{2}v' y_{1}' + v\cdot 0.
Portanto sobra a equação
t^{2}v'' y_{1} + 2t^{2}v' y_{1}' = 0.

Passo 5

Reduzir a ordem definindo u=v' e obter equação de primeira ordem:
  • Dividindo por t^{2}y_{1} (novamente t>0 e y_{1}=t^{2}\neq0 para t>0):
v'' + 2\frac{y_{1}'}{y_{1}}\,v' = 0.
  • Colocando u=v' (então u'=v'') obtemos a equação de primeira ordem
u' + 2\frac{y_{1}'}{y_{1}}\,u = 0.
  • Esta é uma equação linear de primeira ordem para u. A solução geral pode ser obtida por separação ou pelo fator integrante.

Passo 6

Resolver para u usando a função conhecida y_{1}(t)=t^{2}:
  • Calcular \dfrac{y_{1}'}{y_{1}}. Como y_{1}(t)=t^{2}, tem-se y_{1}'(t)=2t, logo
\frac{y_{1}'}{y_{1}}=\frac{2t}{t^{2}}=\frac{2}{t}.
  • Substituindo na equação para u:
u' + 2\cdot\frac{2}{t}\,u = 0 \quad\Longrightarrow\quad u' + \frac{4}{t}u = 0.
  • Esta é separável. Escrevendo \dfrac{u'}{u} = -\dfrac{4}{t} e integrando:
\ln|u| = -4\ln t + C \quad\Longrightarrow\quad u = C t^{-4},
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Integrar para obter v e, em seguida, y_{2}:
  • Lembrando que u=v', temos
v'(t) = C t^{-4}.
  • Integrando em t:
v(t) = C\int t^{-4}\,dt = C\left(-\frac{1}{3}t^{-3}\right) + C_{1}.
  • Tomando C\neq0 e descartando a parte constante C_{1} (pois v constante só reproduz múltiplos de y_{1}), podemos escolher C=1 e desprezar C_{1}. Assim uma escolha conveniente é
v(t) = -\frac{1}{3}t^{-3}.
  • Então a segunda solução é
y_{2}(t)=y_{1}(t)\,v(t)=t^{2}\left(-\frac{1}{3}t^{-3}\right)=-\frac{1}{3}t^{-1}.
  • Como multiplicar por constante não altera independência linear, podemos escolher a forma mais simples
y_{2}(t)=\frac{1}{t}.

Passo 8

Verificar independência linear (checagem via Wronskiano):
  • Calcular o Wronskiano de \,y_{1}=t^{2} e \,y_{2}=t^{-1}:
W(t)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}' - y_{1}'y_{2}.
  • Como y_{1}'=2t e y_{2}'=-t^{-2},
W(t)=t^{2}\cdot(-t^{-2}) - (2t)\cdot(t^{-1}) = -1 - 2 = -3.
  • O Wronskiano é constante -3\neq 0 para t>0, logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em t>0.

Resposta

y_{2}(t)=\dfrac{1}{t}

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