1. Considere a EDO linear com coeficiente contantes e de ordem 4
a_{0} y^{(4)}+a_{1} y^{(3)}+a_{2} y^{\prime \prime}+a_{3} y=t^{2}
e sabendo que a equação característica da equação é
r(r+1)\left(r^{2}+1\right)=0 .
Determine a solução geral.

Passo 1

O enunciado nos dá uma EDO linear de coeficientes constantes de quarta ordem e informa a sua equação característica. Os dados relevantes são:
  • A EDO escrita genericamente como a_{0}y^{(4)}+a_{1}y^{(3)}+a_{2}y''+a_{3}y=t^{2}.
  • A equação característica é
r(r+1)\left(r^{2}+1\right)=0.
  • O que pedem: determinar a solução geral da EDO (solução homogênea + particular).
    Observação importante que vamos usar: a fatoração dada implica que o polinômio característico (até um fator constante) é
r^4+r^3+r^2+r,
ou seja o operador diferencial análogo é a_{0}\big(D^4+D^3+D^2+D\big) (onde D=\tfrac{d}{dt}). Com isso trabalharemos para obter a solução geral.

Passo 2

Resolver a homogênea: pegar as raízes da característica e escrever as soluções fundamentais.
  • As raízes são r=0, r=-1, r=i e r=-i. Todas são simples (multiplicidade 1).
  • Regra: para cada raiz real simples r_0 aparece a solução e^{r_0 t}; para cada par complexo conjugado \alpha\pm i\beta aparece e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t).
    Aplicando aqui:
  • Para r=0 obtemos a solução constante 1.
  • Para r=-1 obtemos e^{-t}.
  • Para r=\pm i (aqui \alpha=0,\beta=1) obtemos \cos t e \sin t.
    Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 + C_2 e^{-t} + C_3\cos t + C_4\sin t,
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher tentativa para a solução particular pelo método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients).
  • O termo do lado direito é um polinômio de grau 2, t^2. Sem outras coincidências, para um RHS polinomial de grau n a tentativa seria um polinômio de grau n: At^2+Bt+C.
  • Contudo existe uma coincidência: r=0 é raiz da característica (ou seja funções polinomiais podem aparecer na homogênea). A regra diz que, se r=0 é raiz de multiplicidade s, então multiplicar a tentativa por t^s. Aqui r=0 tem multiplicidade 1, logo multiplicamos por t.
  • Assim a tentativa para a particular é
y_p(t)=A t^3 + B t^2 + C t,
com constantes A,B,C a determinar.

Passo 4

Calcular derivadas de y_p e aplicar o operador L[a]=a_{0}\big(D^4+D^3+D^2+D\big) (obtido da fatoração da característica).
Derivadas de y_p:
y_p(t)=A t^3 + B t^2 + C t,
y_p'(t)=3A t^2 + 2B t + C,
y_p''(t)=6A t + 2B,
y_p^{(3)}(t)=6A,
y_p^{(4)}(t)=0.
Agora somar y_p^{(4)}+y_p^{(3)}+y_p''+y_p':
y_p^{(4)}+y_p^{(3)}+y_p''+y_p' = 0 + 6A + (6A t + 2B) + (3A t^2 + 2B t + C).
Agrupando por potências de t:
y_p^{(4)}+y_p^{(3)}+y_p''+y_p' = 3A t^2 + (6A+2B)t + (6A+2B+C).
Aplicando o operador com o fator a_{0} temos
L[y_p]=a_{0}\big(3A t^2 + (6A+2B)t + (6A+2B+C)\big).
Impor que L[y_p]=t^2 nos dá um sistema igualando coeficientes do polinômio do lado esquerdo com t^2+0\cdot t +0:

Passo 5

Igualar coeficientes e resolver para A,B,C.
  • Coeficiente de t^2:
a_{0}\cdot 3A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{1}{3a_{0}}.
  • Coeficiente de t:
a_{0}\cdot(6A+2B)=0 \quad\Rightarrow\quad 6A+2B=0 \quad\Rightarrow\quad B=-3A.
Substituindo A:
B=-3\cdot\dfrac{1}{3a_{0}}=-\dfrac{1}{a_{0}}.
  • Coeficiente constante:
a_{0}\cdot(6A+2B+C)=0 \quad\Rightarrow\quad C= -6A-2B.
Substituindo A e B:
C = -6\cdot\dfrac{1}{3a_{0}} - 2\cdot\Big(-\dfrac{1}{a_{0}}\Big)= -\dfrac{6}{3a_{0}} + \dfrac{2}{a_{0}} = -\dfrac{2}{a_{0}} + \dfrac{2}{a_{0}} = 0.
Logo os coeficientes são
A=\dfrac{1}{3a_{0}},\qquad B=-\dfrac{1}{a_{0}},\qquad C=0.
Portanto a particular encontrada é
y_p(t)=\dfrac{1}{3a_{0}}t^3 - \dfrac{1}{a_{0}}t^2.

Passo 6

Escrever a solução geral somando homogênea e particular. Juntando y_h e y_p obtemos a solução geral:
y(t)=C_1 + C_2 e^{-t} + C_3\cos t + C_4\sin t + \dfrac{1}{3a_{0}}t^3 - \dfrac{1}{a_{0}}t^2,
com C_1,C_2,C_3,C_4 constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_1 + C_2 e^{-t} + C_3\cos t + C_4\sin t + \dfrac{1}{3a_{0}}t^3 - \dfrac{1}{a_{0}}t^2

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