- Considere a EDO linear com coeficiente contantes e de ordem 4
e sabendo que a equação característica da equação é
Determine a solução geral.
Passo 1
O enunciado nos dá uma EDO linear de coeficientes constantes de quarta ordem e informa a sua equação característica. Os dados relevantes são:
- A EDO escrita genericamente como
. - A equação característica é
- O que pedem: determinar a solução geral da EDO (solução homogênea + particular).
Observação importante que vamos usar: a fatoração dada implica que o polinômio característico (até um fator constante) é
ou seja o operador diferencial análogo é
(onde
). Com isso trabalharemos para obter a solução geral.
Passo 2
Resolver a homogênea: pegar as raízes da característica e escrever as soluções fundamentais.
- As raízes são
, , e . Todas são simples (multiplicidade 1). - Regra: para cada raiz real simples
aparece a solução ; para cada par complexo conjugado aparece e .
Aplicando aqui: - Para
obtemos a solução constante . - Para
obtemos . - Para
(aqui ) obtemos e .
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher tentativa para a solução particular pelo método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients).
- O termo do lado direito é um polinômio de grau 2,
. Sem outras coincidências, para um RHS polinomial de grau a tentativa seria um polinômio de grau : . - Contudo existe uma coincidência:
é raiz da característica (ou seja funções polinomiais podem aparecer na homogênea). A regra diz que, se é raiz de multiplicidade , então multiplicar a tentativa por . Aqui tem multiplicidade , logo multiplicamos por . - Assim a tentativa para a particular é
com constantes
a determinar.
Passo 4
Calcular derivadas de
e aplicar o operador
(obtido da fatoração da característica).
Derivadas de :
Derivadas de
Agora somar
:
Agrupando por potências de
:
Aplicando o operador com o fator
temos
Impor que
nos dá um sistema igualando coeficientes do polinômio do lado esquerdo com
:
Passo 5
Igualar coeficientes e resolver para
.
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Substituindo
:
- Coeficiente constante:
Substituindo
e
:
Logo os coeficientes são
Portanto a particular encontrada é
Passo 6
Escrever a solução geral somando homogênea e particular. Juntando
e
obtemos a solução geral:
com
constantes arbitrárias.