Considere a EDO:
y^prime prime+2 y^prime+y=0
Determine se as soluções são estáveis, instáveis ou assintoticamente estáveis.

Passo 1

Temos a EDO y'' + 2y' + y = 0, que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a técnica da equação característica e depois analisar a estabilidade da solução trivial.

Passo 2

Montamos a equação característica associada à EDO:
r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação percebemos que ela é um quadrado perfeito:
(r + 1)^2 = 0

Passo 4

Logo a raiz é r = -1 com multiplicidade 2. A partir disso, a solução geral da EDO é
y(t) = (C1 + C2 t)e^-t

Passo 5

Para avaliar a estabilidade, observamos que
limttoinfty e^-t = 0elimttoinfty t,e^-t = 0

Passo 6

Como ambas as componentes da solução vão a zero quando ttoinfty, qualquer perturbação inicial se anula com o tempo, o que caracteriza a solução trivial como assintoticamente estável.

Resposta

As soluções são assintoticamente estáveis.

Exercícios relacionados