Considere a EDO:
Determine se as soluções são estáveis, instáveis ou assintoticamente estáveis.
Determine se as soluções são estáveis, instáveis ou assintoticamente estáveis.
Passo 1
Temos a EDO
, que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a técnica da equação característica e depois analisar a estabilidade da solução trivial.
Passo 2
Montamos a equação característica associada à EDO:
Passo 3
Resolvendo essa equação percebemos que ela é um quadrado perfeito:
Passo 4
Logo a raiz é
com multiplicidade 2. A partir disso, a solução geral da EDO é
Passo 5
Para avaliar a estabilidade, observamos que
Passo 6
Como ambas as componentes da solução vão a zero quando
, qualquer perturbação inicial se anula com o tempo, o que caracteriza a solução trivial como assintoticamente estável.
Resposta
As soluções são assintoticamente estáveis.