Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)={1,0<x<a 0, x>a. Considere f par

Passo 1

O enunciado pede a representação de f(x) por uma integral de Fourier, sabendo que f é par e vale 1 em (0,a) e 0 em (a,∞). O conteúdo aqui é transformada de Fourier em integral, usando apenas cossenos por f ser par.

Passo 2

Para funções pares, a fórmula da transformada de Fourier inversa reduz-se a usar só cossenos. Chamando A(ω) o coeficiente, temos
A(omega)=2piintegral0^inftyf(t)cos(omega t),dt
Como f(t)=1 para 0<t<a e 0 para t>a, o integral vira
A(omega)=2piintegral0^acos(omega t),dt =2pi[sin(omega a)omega]

Passo 3

Agora basta escrever f(x) em função de A(ω). Fica
f(x)=integral0^inftyA(omega)cos(omega x),domega =2piintegral0^inftysin(omega a)omega,cos(omega x),domega

Resposta

f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\omega a)}{\omega},\cos(\omega x),d\omega

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