Considere a EDO y^{\prime \prime}+y=g(x), onde g(x) é uma função contínua arbitrária. Utilize o método de variação dos parâmetros para escrever uma expressão integral para uma solução particular da EDO.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y'' + y = g(x),
onde g(x) é uma função contínua arbitrária, e pede para, usando o método de variação de parâmetros, escrever uma expressão integral para uma solução particular da EDO.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo g(x).
A função g(x) é contínua (portanto as integrais que aparecerem fazem sentido).
A tarefa é obter uma expressão integral para uma solução particular y_p(x) usando variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y'' + y = 0.
As funções que satisfazem essa equação homogênea são
y_1(x)=\cos x,\qquad y_2(x)=\sin x.
Vou mostrar rapidinho por quê: \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x e \frac{d^2}{dx^2}\cos x = -\cos x, então \cos''+ \cos = -\cos + \cos = 0. Mesma ideia para \sin x. Essas duas soluções são linearmente independentes porque o Wronskiano delas não é zero:
W(x)=\begin{vmatrix}\cos x & \sin x \\\\ -\sin x & \cos x\end{vmatrix}=\cos^2 x+\sin^2 x=1\neq 0.
O fato de W\neq 0 nos garante que \{\cos x,\sin x\} é uma base de soluções da homogênea.
Passo 3
No método de variação de parâmetros procuramos uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)\cos x + u_2(x)\sin x,
onde u_1(x) e u_2(x) são funções (a variar) a determinar. Para simplificar cálculos impomos a condição auxiliar clássica
u_1'(x)\cos x + u_2'(x)\sin x = 0.
Essa condição é escolhida para reduzir o número de termos ao diferenciar duas vezes e facilitar a solução para u_1' e u_2'. Vou explicar: calculamos y_p' e y_p''.
Passo 4
Derivando usando a condição auxiliar:
y_p' = u_1'\cos x + u_2'\sin x + u_1(-\sin x) + u_2\cos x.
Pela condição auxiliar o primeiro parêntese some, então
y_p' = -u_1\sin x + u_2\cos x.
Derivando novamente:
y_p'' = -u_1'\sin x - u_1\cos x + u_2'\cos x - u_2\sin x.
Agora substituímos em y''+y=g(x). Como y_p = u_1\cos x + u_2\sin x, somando y_p''+y_p os termos com u_1 e u_2 que não envolvem derivadas cancelam (porque \cos e \sin satisfazem a homogênea), restando apenas os termos com u_1' e u_2':
y_p'' + y_p = (-u_1'\sin x + u_2'\cos x) = g(x).
Juntando com a condição auxiliar obtemos o sistema linear para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1'(x)\cos x + u_2'(x)\sin x = 0,\\[4pt] -u_1'(x)\sin x + u_2'(x)\cos x = g(x). \end{cases}]
Passo 5
Resolvendo o sistema (é uma matriz de rotação de determinante W=1), aplicando regra de Cramer ou invertendo diretamente, temos
Explicando: multiplicando a matriz inversa a segunda linha dá exatamente essas expressões porque a inversa da matriz \begin{pmatrix}\cos & \sin \\\\ -\sin & \cos\end{pmatrix} é \begin{pmatrix}\cos & -\sin \\\ \sin & \cos\end{pmatrix} e o produto com \begin{pmatrix}0\\\ g\end{pmatrix} produz \begin{pmatrix}-g\sin\\\ g\cos\end{pmatrix}.
Passo 6
Integrando u_1' e u_2' obtemos u_1 e u_2. Podemos escolher constantes de integração, mas elas apenas trocam a solução particular por outra que difere por uma solução homogênea; por conveniência escolhemos integrais definidas a partir de um ponto fixo x_0. Assim
Podemos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica
\sin(x-s)=\sin x\cos s - \cos x\sin s,
o que permite escrever a solução particular de forma compacta (essa forma é muitas vezes chamada de forma de convolução com a função \sin):
y_p(x)=\int_{x_0}^{x} g(s)\sin(x-s)\,ds.
Essa é uma representação integral conveniente: para qualquer ponto de referência x_0 a integral acima fornece uma solução particular; escolhas diferentes de x_0 mudam y_p por uma solução homogênea.