Utilize o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução geral da EDO que modela um sistema massa-mola \operatorname{com} m=1, k=4 e sem amortecimento, sujeito a uma força externa f(t)=\frac{1}{\cos (2 t)}.

Passo 1

O enunciado dá o sistema massa-mola sem amortecimento com m=1, k=4 e força externa f(t)=\dfrac{1}{\cos(2t)}. A equação diferencial associada é
x''+4x=\frac{1}{\cos(2t)}.
O que nos pedem: encontrar a solução geral x(t) dessa equação (solução completa = solução geral da homogênea + particular). Informações relevantes dadas pelo enunciado:
m=1,\quad k=4,\quad f(t)=\frac{1}{\cos(2t)}=\operatorname{sec}(2t).
Não há amortecimento (termo em x' ausente). A equação homogênea correspondente é x''+4x=0. A solução pedida deve ser válida em intervalos onde \cos(2t)\neq 0 (pois f tem singularidades onde \cos(2t)=0).

Passo 2

Resolver a equação homogênea para obter as soluções fundamentais. A homogênea é
x''+4x=0.
Procuramos soluções da forma e^{rt}. A equação característica é
r^2+4=0,
cuja raiz complexa é r=\pm 2i. Isso gera as soluções reais fundamentais
y_1(t)=\cos(2t),\qquad y_2(t)=\sin(2t).
Explicando devagar: quando a equação característica tem raízes \pm i\omega, as soluções reais são \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Aqui \omega=2.

Passo 3

Vamos usar o método de variação dos parâmetros. A ideia: em vez de constantes multiplicando y_1,y_2, tomamos funções u_1(t),u_2(t) e buscamos uma solução particular na forma
x_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t).
Para determinar u_1 e u_2 impostamos as condições padrão (para simplificar contas):
u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0,
u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)=f(t).
Aqui f(t) é o termo não-homogêneo do lado direito, isto é f(t)=\operatorname{sec}(2t). Essas duas equações formam um sistema linear para u_1' e u_2'.

Passo 4

Calcular o Wronskiano W(t) das soluções fundamentais; ele aparece ao resolver o sistema:
W(t)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}.
Com y_1=\cos(2t) e y_2=\sin(2t) temos
y_1'=-2\sin(2t),\qquad y_2'=2\cos(2t).
Então
W(t)=\cos(2t)\cdot 2\cos(2t) - \sin(2t)\cdot(-2\sin(2t)) = 2\big(\cos^2(2t)+\sin^2(2t)\big)=2.
Observe que W(t)=2 é constante e diferente de zero, o que nos permite aplicar variação de parâmetros sem problemas.

Passo 5

As fórmulas explícitas para u_1' e u_2' (obtidas resolvendo o sistema linear referido) são
u_1'(t) = -\frac{f(t)\,y_2(t)}{W(t)},\qquad u_2'(t) = \frac{f(t)\,y_1(t)}{W(t)}.
Substituindo f(t)=\operatorname{sec}(2t), y_1=\cos(2t), y_2=\sin(2t) e W=2, obtemos
u_1'(t) = -\frac{\operatorname{sec}(2t)\,\sin(2t)}{2} = -\frac{1}{2}\tan(2t),
u_2'(t) = \frac{\operatorname{sec}(2t)\,\cos(2t)}{2} = \frac{1}{2}.
Expliquei: \operatorname{sec}(2t)\sin(2t)=\dfrac{\sin(2t)}{\cos(2t)}=\tan(2t) e \operatorname{sec}(2t)\cos(2t)=1.

Passo 6

Integrar u_1' e u_2' para achar u_1 e u_2.
Primeiro u_2:
u_2'(t)=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad u_2(t)=\int\frac{1}{2}\,dt=\frac{t}{2}+C_2.
Para u_1:
u_1'(t)=-\frac{1}{2}\tan(2t).
Calcule a integral com calma. Use substituição: \int \tan(2t)\,dt=\int\frac{\sin(2t)}{\cos(2t)}\,dt. Coloque w=\cos(2t), então dw=-2\sin(2t)\,dt, logo
\int \tan(2t)\,dt = -\frac{1}{2}\ln\big|\cos(2t)\big| + C.
Portanto
u_1(t)=-\frac{1}{2}\int \tan(2t)\,dt = -\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\ln\big|\cos(2t)\big|\right)+C_1 = \frac{1}{4}\ln\big|\cos(2t)\big|+C_1.
Observação importante (muito usada em variação de parâmetros): as constantes C_1,C_2 em u_1,u_2 podem ser tomadas iguais a zero porque termos constantes multiplicando y_1,y_2 voltariam a gerar partes da solução homogênea, que já serão incluídas pelos coeficientes arbitrários da solução geral. Portanto, para construir uma particular escolhemos
u_1(t)=\frac{1}{4}\ln\big|\cos(2t)\big|,\qquad u_2(t)=\frac{t}{2}.

Passo 7

Construir a solução particular x_p(t)=u_1y_1+u_2y_2. Substituindo os resultados:
x_p(t)=\left(\frac{1}{4}\ln\big|\cos(2t)\big|\right)\cos(2t)+\left(\frac{t}{2}\right)\sin(2t).
Explique a forma: o primeiro termo mistura um logaritmo com \cos(2t) (vem da integração de \tan(2t)), e o segundo termo \dfrac{t}{2}\sin(2t) é um termo “secular” que cresce linearmente em t; ele aparece porque a força tem dependência que gera esse comportamento (note que f(t) possui singularidades e componentes na frequência natural).

Passo 8

A solução geral é a soma da solução homogênea com a particular:
x(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+\frac{1}{4}\cos(2t)\ln\big|\cos(2t)\big|+\frac{t}{2}\sin(2t),
com constantes arbitrárias C_1,C_2. Lembrete prático: essa solução vale em intervalos onde \cos(2t)\neq 0 (ou seja, entre as singularidades de \operatorname{sec}(2t)). Se precisar de solução global, deve-se considerar cada intervalo separado e ajustar constantes de integração conforme condições iniciais.

Resposta

x(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+\frac{1}{4}\cos(2t)\ln\big|\cos(2t)\big|+\frac{t}{2}\sin(2t).

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