Utilize o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução geral da EDO que modela um sistema massa-mola \operatorname{com} m=1, k=4 e sem amortecimento, sujeito a uma força externa f(t)=\frac{1}{\cos (2 t)}.
Passo 1
O enunciado dá o sistema massa-mola sem amortecimento com m=1, k=4 e força externa f(t)=\dfrac{1}{\cos(2t)}. A equação diferencial associada é
x''+4x=\frac{1}{\cos(2t)}.
O que nos pedem: encontrar a solução geral x(t) dessa equação (solução completa = solução geral da homogênea + particular). Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há amortecimento (termo em x' ausente). A equação homogênea correspondente é x''+4x=0. A solução pedida deve ser válida em intervalos onde \cos(2t)\neq 0 (pois f tem singularidades onde \cos(2t)=0).
Passo 2
Resolver a equação homogênea para obter as soluções fundamentais. A homogênea é
x''+4x=0.
Procuramos soluções da forma e^{rt}. A equação característica é
r^2+4=0,
cuja raiz complexa é r=\pm 2i. Isso gera as soluções reais fundamentais
y_1(t)=\cos(2t),\qquad y_2(t)=\sin(2t).
Explicando devagar: quando a equação característica tem raízes \pm i\omega, as soluções reais são \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Aqui \omega=2.
Passo 3
Vamos usar o método de variação dos parâmetros. A ideia: em vez de constantes multiplicando y_1,y_2, tomamos funções u_1(t),u_2(t) e buscamos uma solução particular na forma
x_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t).
Para determinar u_1 e u_2 impostamos as condições padrão (para simplificar contas):
u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0,
u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)=f(t).
Aqui f(t) é o termo não-homogêneo do lado direito, isto é f(t)=\operatorname{sec}(2t). Essas duas equações formam um sistema linear para u_1' e u_2'.
Passo 4
Calcular o Wronskiano W(t) das soluções fundamentais; ele aparece ao resolver o sistema:
Observação importante (muito usada em variação de parâmetros): as constantes C_1,C_2 em u_1,u_2 podem ser tomadas iguais a zero porque termos constantes multiplicando y_1,y_2 voltariam a gerar partes da solução homogênea, que já serão incluídas pelos coeficientes arbitrários da solução geral. Portanto, para construir uma particular escolhemos
Explique a forma: o primeiro termo mistura um logaritmo com \cos(2t) (vem da integração de \tan(2t)), e o segundo termo \dfrac{t}{2}\sin(2t) é um termo “secular” que cresce linearmente em t; ele aparece porque a força tem dependência que gera esse comportamento (note que f(t) possui singularidades e componentes na frequência natural).
Passo 8
A solução geral é a soma da solução homogênea com a particular:
com constantes arbitrárias C_1,C_2. Lembrete prático: essa solução vale em intervalos onde \cos(2t)\neq 0 (ou seja, entre as singularidades de \operatorname{sec}(2t)). Se precisar de solução global, deve-se considerar cada intervalo separado e ajustar constantes de integração conforme condições iniciais.