Considere um circuito RLC em série com R=10 \Omega, L=1 H, C=0.1 F e sujeito a uma voltagem aplicada E(t)=12 \sin (t) V. Modele a EDO para a carga q(t) e encontre a solução no regime permanente (a parte da solução geral que não decai para zero com o tempo, geralmente associada à solução particular) usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: modelar a equação diferencial que descreve a carga q(t) num circuito série RLC com os valores dados e encontrar a solução no regime permanente (isto é, a parte da solução que permanece oscilante e não decai, normalmente a solução particular). Dados fornecidos:
R=10\\ \Omega,\quad L=1\\ \text{H},\quad C=0{,}1\\ \text{F},
E(t)=12\sin(t)\\ \text{V}.
Pede-se: (1) escrever a EDO para q(t); (2) encontrar a solução no regime permanente usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Montagem da EDO pelo KVL (Lei das Malhas). Em série, a soma das quedas de tensão em indutor, resistor e capacitor é igual à tensão aplicada E(t). Em termos da carga q(t):
  • corrente i(t)=q'(t);
  • tensão no indutor: L\,i'(t)=L\,q''(t);
  • tensão no resistor: R\,i(t)=R\,q'(t);
  • tensão no capacitor: q(t)/C.
Portanto a equação de Kirchhoff é
L\,q''(t)+R\,q'(t)+\frac{1}{C}q(t)=E(t).
Substituindo os valores numéricos:
1\cdot q''(t)+10\cdot q'(t)+\frac{1}{0{,}1}\,q(t)=12\sin(t).
Como \frac{1}{0{,}1}=10, a EDO fica
\boxed{\,q''(t)+10\,q'(t)+10\,q(t)=12\sin(t)\,.}

Passo 3

Natureza da equação e conceito de regime permanente. A EDO é linear, de coeficientes constantes, não homogênea. A solução geral tem a forma
q(t)=q_h(t)+q_p(t),
onde q_h é a solução da associada homogênea e q_p é uma solução particular. O regime permanente corresponde a q_p(t) quando q_h(t) decai para zero conforme t\to\infty. Vamos verificar que q_h decai: a equação homogênea é
q''+10q'+10q=0,
com polinômio característico
r^2+10r+10=0.
As raízes são
r=\frac{-10\pm\sqrt{100-40}}{2}=\frac{-10\pm\sqrt{60}}{2}.
Como \sqrt{60} é real e menor que 10, ambas as raízes têm parte real negativa; logo q_h(t) é combinação de exponenciais decrescentes (possivelmente multiplicadas por senos/cossenos) e tende a zero. Portanto o regime permanente é justamente a solução particular q_p(t).

Passo 4

Escolha do método dos coeficientes a determinar. O termo forçante é 12\sin(t). Sabemos que derivadas de \sin t e \cos t voltam a ser combinações de \sin t e \cos t. Assim tentamos uma solução particular da forma
\boxed{\,q_p(t)=A\cos(t)+B\sin(t)\,}
onde A e B são constantes a determinar. Observação: se i\omega (aqui \pm i) fosse raiz do polinômio característico haveria ressonância e precisaríamos multiplicar por t; verificamos que \pm i não são raízes de r^2+10r+10 (substituindo r=i obtém-se número não nulo), então a forma acima é adequada.

Passo 5

Calculemos as derivadas de q_p(t):
q_p'(t)=-A\sin(t)+B\cos(t),
q_p''(t)=-A\cos(t)-B\sin(t).
Substituímos na EDO q''+10q'+10q=12\sin t:
(-A\cos t - B\sin t)+10(-A\sin t + B\cos t)+10(A\cos t + B\sin t)=12\sin t.
Agora agrupamos os coeficientes de \cos t e de \sin t. Para \cos t:
(-A)+10B+10A = 9A+10B.
Para \sin t:
(-B)-10A+10B = -10A+9B.
Portanto a identidade trigonométrica resulta em
(9A+10B)\cos t +(-10A+9B)\sin t = 0\cdot\cos t + 12\sin t.
Igualando coeficientes de \cos t e \sin t obtemos o sistema linear para A,B:
\begin{cases} 9A+10B=0,\\[4pt] -10A+9B=12. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo o sistema. Da primeira equação temos
9A=-10B\quad\Rightarrow\quad A=-\frac{10}{9}B.
Substituindo na segunda:
-10\!\left(-\frac{10}{9}B\right)+9B=12.
Calcule passo a passo:
\frac{100}{9}B+9B=12.
Escrevendo 9B=\frac{81}{9}B e somando:
\frac{100B+81B}{9}=\frac{181B}{9}=12.
Logo
B=\frac{12\cdot 9}{181}=\frac{108}{181}.
E então
A=-\frac{10}{9}B=-\frac{10}{9}\cdot\frac{108}{181}=-\frac{1080}{1629}=-\frac{120}{181},
onde simplificamos dividindo numerador e denominador por 9.

Passo 7

Escrevemos a solução particular encontrada. Substituindo A e B em q_p(t)=A\cos t + B\sin t obtemos
\boxed{\,q_p(t)=-\frac{120}{181}\cos(t)+\frac{108}{181}\sin(t)\,.}
Interpretando: esta função é a resposta em regime permanente — oscila sinusoidalmente com a mesma frequência da fonte ( 1\\ \text{rad/s}), com amplitude e defasagem dadas pelos coeficientes acima. A solução homogênea decai exponencialmente, então para tempos longos a carga do circuito é bem aproximada por q_p(t).

Resposta

-\dfrac{120}{181}\cos(t)+\dfrac{108}{181}\sin(t)

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