Considere um circuito RLC em série com
e sujeito a uma voltagem aplicada
. Modele a EDO para a carga
e encontre a solução no regime permanente (a parte da solução geral que não decai para zero com o tempo, geralmente associada à solução particular) usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: modelar a equação diferencial que descreve a carga
num circuito série RLC com os valores dados e encontrar a solução no regime permanente (isto é, a parte da solução que permanece oscilante e não decai, normalmente a solução particular). Dados fornecidos:
Pede-se: (1) escrever a EDO para
; (2) encontrar a solução no regime permanente usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Montagem da EDO pelo KVL (Lei das Malhas). Em série, a soma das quedas de tensão em indutor, resistor e capacitor é igual à tensão aplicada
. Em termos da carga
:
- corrente
; - tensão no indutor:
; - tensão no resistor:
; - tensão no capacitor:
.
Portanto a equação de Kirchhoff é
Substituindo os valores numéricos:
Como
, a EDO fica
Passo 3
Natureza da equação e conceito de regime permanente. A EDO é linear, de coeficientes constantes, não homogênea. A solução geral tem a forma
onde
é a solução da associada homogênea e
é uma solução particular. O regime permanente corresponde a
quando
decai para zero conforme
. Vamos verificar que
decai: a equação homogênea é
com polinômio característico
As raízes são
Como
é real e menor que
, ambas as raízes têm parte real negativa; logo
é combinação de exponenciais decrescentes (possivelmente multiplicadas por senos/cossenos) e tende a zero. Portanto o regime permanente é justamente a solução particular
.
Passo 4
Escolha do método dos coeficientes a determinar. O termo forçante é
. Sabemos que derivadas de
e
voltam a ser combinações de
e
. Assim tentamos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar. Observação: se
(aqui
) fosse raiz do polinômio característico haveria ressonância e precisaríamos multiplicar por
; verificamos que
não são raízes de
(substituindo
obtém-se número não nulo), então a forma acima é adequada.
Passo 5
Calculemos as derivadas de
:
Substituímos na EDO
:
Agora agrupamos os coeficientes de
e de
. Para
:
Para
:
Portanto a identidade trigonométrica resulta em
Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear para
:
Passo 6
Resolvendo o sistema. Da primeira equação temos
Substituindo na segunda:
Calcule passo a passo:
Escrevendo
e somando:
Logo
E então
onde simplificamos dividindo numerador e denominador por
.
Passo 7
Escrevemos a solução particular encontrada. Substituindo
e
em
obtemos
Interpretando: esta função é a resposta em regime permanente — oscila sinusoidalmente com a mesma frequência da fonte (
), com amplitude e defasagem dadas pelos coeficientes acima. A solução homogênea decai exponencialmente, então para tempos longos a carga do circuito é bem aproximada por
.