Considere a edo y^prime prime-5 y^prime+6 y=x e^3 x.
a) Obtenha a solução geral da edo homogenea correspondente.
b) Use a Método dos Coeficientes Indeterminados para obter uma solução particular da edo não-homogênea dada.
c) Obtenha a solução geral da edo não homogênea dada.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = x e^3x
O conteúdo é: (i) solução da homogênea, obtida pela equação característica; (ii) solução particular pelo Método dos Coeficientes Indeterminados; (iii) combinação das duas para a solução geral não homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 5y' + 6y = 0
A equação característica é
r^2 - 5r + 6 = 0,
cuja solução é
r = 2, r = 3
Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^2x + C2 e^3x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é x e^3x e e^3x já aparece em yh, multiplicamos a proposta usual (Ax+B)e^3x por x. Assim assumimos
yp = (A x^2 + B x),e^3x

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp = (A x^2 + B x)e^3x,
yp' = l[2A x + B + 3(A x^2 + B x)r]e^3x = l[3A x^2 + (2A+3B)x + Br]e^3x,
yp'' = l[6A x + (2A+3B) + 3l(3A x^2 + (2A+3B)x + Br)r]e^3x = l[9A x^2 + (12A+9B)x + (2A+6B)r]e^3x
Substituindo em y''-5y'+6y e coletando e^3x, obtemos
l[2A x + (2A + B)r]e^3x stackrel!= x,e^3x
Comparando coeficientes de x e termo constante:
2A = 1, 2A + B = 0 Longrightarrow A=tfrac12,;B=-1
Portanto
yp = l(tfrac12 x^2 - xr)e^3x

Passo 5

A solução geral da não homogênea é
y = yh + yp = C1 e^2x + C2 e^3x + l(tfrac12 x^2 - xr)e^3x

Resposta

(a) yh = C1 e^2x + C2 e^3x
(b) yp = l(tfrac12 x^2 - xr)e^3x
(c) y = C1 e^2x + C2 e^3x + l(tfrac12 x^2 - xr)e^3x

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