Sobre a série
sumn=1^infty(-1)^n(raizn+1-raizn)
D) A série não é absolutamente convergente mas é condicionalmente convergente.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^nl(raizn+1-raiznr)
O conteúdo envolve verificar se ela é absolutamente convergente e, caso não seja, se converge de forma condicional usando o critério de Leibniz (séries alternadas).

Passo 2

Teste de convergência absoluta. Consideramos
sumn=1^inftyl|raizn+1-raiznr| =sumn=1^inftyl(raizn+1-raiznr)
Note que esta soma é telescópica, pois
sumn=1^Nl(raizn+1-raiznr) =raizN+1-raiz1 =raizN+1-1,
que cresce sem limite quando Ntoinfty. Logo, a série de valores absolutos diverge e não é absolutamente convergente.

Passo 3

Teste de convergência condicional usando o critério de Leibniz. Definimos
an=raizn+1-raizn =1raizn+1+raizn
Observamos que para todo n vale an>0, limntoinftyan=0 (porque o denominador cresce) e an+1<an (o denominador raizn+2+raizn+1 é maior que raizn+1+raizn). Assim, pelos critérios de Leibniz,
sumn=1^infty(-1)^nan
converge. Como já vimos que não converge absolutamente, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série não é absolutamente convergente mas é condicionalmente convergente.

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