- Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante
delimitado pelos planos
,
e pelo cilindro
. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo
. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)
Passo 1
O enunciado pede que a gente escreva a integral tripla, com limites de integração, que calcula o momento de inércia do sólido em relação ao eixo
. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
- A densidade do eixo é constante e vale
. - A seção radial do sólido é o cilindro circular de equação
(logo, na projeção no plano temos ). - O sólido é delimitado entre os planos
e . - Queremos o momento de inércia em relação ao eixo
.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar: o momento de inércia de um corpo volumétrico de densidade
em relação ao eixo
é dado por
Aqui a distância de um ponto
ao eixo
é a distância ao eixo vertical, isto é
. Então o integrando fica
.
Passo 3
Troca para coordenadas cilíndricas (isso facilita porque a região é um cilindro): as transformações são
com o elemento de volume
No integrando,
. Portanto o integrando
vira
.
Passo 4
Agora os limites. Pela projeção radial (cilindro
) temos
Para
, o sólido está entre o plano inferior
e o plano superior dado por
. Em coordenadas cilíndricas
, então o plano superior é
Assim, para cada
fixo,
varia de
até
. (Verificação rápida: para
e qualquer
, tem
, logo o limite superior é sempre maior que o inferior.)
Portanto a integral pedida é