1. Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante \delta delimitado pelos planos y+z=12, z=2 e pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo z. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)
\delta \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} \int_{2}^{12-r \cos (\theta)} r^{3} d z d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva a integral tripla, com limites de integração, que calcula o momento de inércia do sólido em relação ao eixo z. Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
  • A densidade do eixo é constante e vale \delta.
  • A seção radial do sólido é o cilindro circular de equação x^{2}+y^{2}=4 (logo, na projeção no plano xy temos x^{2}+y^{2}\le 4).
  • O sólido é delimitado entre os planos z=2 e y+z=12.
  • Queremos o momento de inércia em relação ao eixo z.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar: o momento de inércia de um corpo volumétrico de densidade \delta em relação ao eixo z é dado por
I_{z}=\iiint_{V} \delta \,(\text{distância ao eixo }z)^{2}\, dV.â
Aqui a distância de um ponto (x,y,z) ao eixo z é a distância ao eixo vertical, isto é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então o integrando fica \delta (x^{2}+y^{2}).

Passo 3

Troca para coordenadas cilíndricas (isso facilita porque a região é um cilindro): as transformações são
x=r\cos(\theta),\qquad y=r\sin(\theta),\qquad z=z,
com o elemento de volume
dV = r\, dr\, d\theta\, dz.
No integrando, x^{2}+y^{2}=r^{2}. Portanto o integrando \delta (x^{2}+y^{2})\, dV vira \delta r^{2}\cdot r\, dr\, d\theta\, dz=\delta r^{3}\, dr\, d\theta\, dz.

Passo 4

Agora os limites. Pela projeção radial (cilindro x^{2}+y^{2}\le 4) temos
0\le r\le 2,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Para z, o sólido está entre o plano inferior z=2 e o plano superior dado por y+z=12. Em coordenadas cilíndricas y=r\sin(\theta), então o plano superior é
z=12-y=12-r\sin(\theta).
Assim, para cada (r,\theta) fixo, z varia de 2 até 12-r\sin(\theta). (Verificação rápida: para 0\le r\le 2 e qualquer \theta, tem 12-r\sin(\theta)\ge 10>2, logo o limite superior é sempre maior que o inferior.)
Portanto a integral pedida é
\delta \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{2}^{\,12-r\sin(\theta)} r^{3}\, dz\, dr\, d\theta.

Resposta

\delta \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{2}^{\,12-r\sin(\theta)} r^{3}\, dz\, dr\, d\theta

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