Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{3^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3^{n}}{n^{2}}
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações diretas do enunciado:
  • O termo geral da série é a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{3^{n}}{n^{2}}.
  • Em módulo, os termos são b_{n}=\dfrac{3^{n}}{n^{2}}>0.
  • O sinal alterna por causa do fator (-1)^{n}.

Passo 2

Lembrar um fato fundamental (teste necessário para convergência): se uma série \sum a_{n} converge então o termo geral a_{n} deve tender a zero quando n\to\infty. Explicação curta e intuitiva: se as somas parciais S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} convergem para algum S, então
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\xrightarrow[n\to\infty]{}S-S=0.
Portanto, uma verficação inicial sempre é calcular \lim_{n\to\infty}a_{n}; se esse limite não for zero, a série diverge automaticamente.

Passo 3

Calcular o comportamento do módulo dos termos:
b_{n}=\frac{3^{n}}{n^{2}}.
Uma maneira clara de ver que b_{n} não tende a zero é analisar o logaritmo:
\ln b_{n}=\ln\!\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right)=n\ln 3 - 2\ln n.
Quando n\to\infty, a parte n\ln 3 cresce linearmente em n, enquanto 2\ln n cresce muito mais devagar (logaritmicamente). Assim
\ln b_{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty,
o que implica
b_{n}=\frac{3^{n}}{n^{2}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty.
Ou seja, os módulos dos termos crescem sem limite (não apenas não tendem a zero — tendem a infinito).

Passo 4

Conseqüência direta do passo anterior: como b_{n}\to\infty, temos que a_{n}=(-1)^{n}b_{n} não tende a zero (os valores alternam sinais, mas em módulo divergem). Pelo teste necessário para convergência (Passo 2), se a_{n}\not\to0 então a série não pode convergir. Logo a série diverge.

Passo 5

Comentário adicional (útil para provas): não adianta tentar aplicar o critério de séries alternadas (teste de Leibniz), porque esse teste exige que b_{n} seja decrescente e b_{n}\to0. Aqui b_{n} nem sequer tende a zero, então o teste não se aplica e a série não é condicionalmente convergente. Também a série de termos absolutos diverge (por exemplo, a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}=3\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\to3>1 mostra crescimento geométrico, logo divergência absoluta).

Resposta

Divergente

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