Determine se a série alternada é convergente ou divergente. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{3^{n}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3^{n}}{n^{2}}
é convergente ou divergente. Informações dadas e observações diretas do enunciado:
O termo geral da série é a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{3^{n}}{n^{2}}.
Em módulo, os termos são b_{n}=\dfrac{3^{n}}{n^{2}}>0.
O sinal alterna por causa do fator (-1)^{n}.
Passo 2
Lembrar um fato fundamental (teste necessário para convergência): se uma série \sum a_{n} converge então o termo geral a_{n} deve tender a zero quando n\to\infty. Explicação curta e intuitiva: se as somas parciais S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} convergem para algum S, então
Ou seja, os módulos dos termos crescem sem limite (não apenas não tendem a zero — tendem a infinito).
Passo 4
Conseqüência direta do passo anterior: como b_{n}\to\infty, temos que a_{n}=(-1)^{n}b_{n} não tende a zero (os valores alternam sinais, mas em módulo divergem). Pelo teste necessário para convergência (Passo 2), se a_{n}\not\to0 então a série não pode convergir. Logo a série diverge.
Passo 5
Comentário adicional (útil para provas): não adianta tentar aplicar o critério de séries alternadas (teste de Leibniz), porque esse teste exige que b_{n} seja decrescente e b_{n}\to0. Aqui b_{n} nem sequer tende a zero, então o teste não se aplica e a série não é condicionalmente convergente. Também a série de termos absolutos diverge (por exemplo, a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}=3\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\to3>1 mostra crescimento geométrico, logo divergência absoluta).