1. Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas \mathbf{y = x + 1} e \mathbf{y = x ^ { 2 } - 2 x - 3}. (6 pontos)
\int_{-1}^{4} \int_{x^{2}-2 x-3}^{x+1} d y d x=\frac{125}{6}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar e determinar a área delimitada pelas curvas y = x + 1 e y = x^{2}-2x-3.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as duas equações das curvas são y = x + 1 e y = x^{2}-2x-3. O enunciado já sugere uma integral dupla
\int_{-1}^{4} \int_{x^{2}-2x-3}^{x+1} dy\,dx = \frac{125}{6},
o que implica que a região pode ser descrita por x variando de -1 a 4 e y variando entre as duas curvas.

Passo 2

A primeira tarefa prática é encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas — esses pontos delimitam onde a região começa e termina no eixo x. Para isso resolvemos
x+1 = x^{2}-2x-3.
Trabalhando essa equação: primeiro colocamos tudo no mesmo lado
0 = x^{2}-2x-3 - (x+1) = x^{2}-3x-4.
Agora resolvemos a quadrática x^{2}-3x-4=0. Ela fatoriza facilmente porque procuramos dois números cuja soma é -3 e produto é -4; esses números são -4 e 1. Logo
x^{2}-3x-4 = (x-4)(x+1).
Portanto as raízes são x=4 e x=-1. Calculamos as coordenadas y correspondentes usando, por exemplo, y=x+1:
\text{em } x=-1:\; y = -1+1 = 0, \quad \text{em } x=4:\; y = 4+1 = 5.
Assim os pontos de interseção são (-1,0) e (4,5).

Passo 3

Esboço e posição relativa das curvas (descrição para desenhar sem figura):
  • A reta y = x+1 tem inclinação 1 e intercepto em y igual a 1. É uma linha reta subindo com coeficiente angular positivo.
  • A parábola y = x^{2}-2x-3 pode ser escrita completando o quadrado:
y = (x^{2}-2x)+(-3) = (x-1)^{2}-1-3 = (x-1)^{2}-4.
Logo a parábola tem vértice em (1,-4) e abre para cima.
Para verificar qual curva está acima entre -1 e 4, avaliamos em um ponto interior, por exemplo x=0: y_{\text{reta}}(0)=1 e y_{\text{parábola}}(0)=-3á. Portanto, para x entre -1 e 4, a reta y=x+1 está acima da parábola y=x^{2}-2x-3. Isso significa que a região delimitada é simples por fatias verticais: para cada x\in[-1,4], y varia de y=x^{2}-2x-3 (abaixo) até y=x+1 (acima).

Passo 4

Formulação da integral para a área:
A área A da região obtida por fatias verticais é dada por
A = \int_{x=-1}^{4} \big(\text{topo} - \text{fundo}\big)\,dx = \int_{-1}^{4} \big( (x+1) - (x^{2}-2x-3)\big)\,dx.
Explicando a ideia: cada fatia vertical em x tem altura y_{\text{topo}}-y_{\text{fundo}} e largura dx; integrar soma as áreas infinitesimais dessas fatias.

Passo 5

Simplificação do integrando e antiderivação:
Primeiro simplificamos a diferença:
(x+1) - (x^{2}-2x-3) = -x^{2}+3x+4.
Agora integramos o polinômio termo a termo. Lembrando a regra básica de integração de potências: para n\neq -1,
\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando isso aos termos:
\int (-x^{2}+3x+4)\,dx = -\frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2} + 4x + C.
Esse é o antiderivado F(x). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a área é F(4)-F(-1).

Passo 6

Avaliação da primitiva nos limites e cálculo final passo a passo:
Calculamos F(4):
F(4) = -\frac{4^{3}}{3} + \frac{3\cdot 4^{2}}{2} + 4\cdot 4 = -\frac{64}{3} + \frac{3\cdot 16}{2} + 16.
\frac{3\cdot 16}{2} = \frac{48}{2} = 24,
então
F(4) = -\frac{64}{3} + 24 + 16 = -\frac{64}{3} + 40 = \frac{120-64}{3} = \frac{56}{3}.
Agora F(-1):
F(-1) = -\frac{(-1)^{3}}{3} + \frac{3(-1)^{2}}{2} + 4(-1) = -\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{3\cdot 1}{2} -4 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} -4.
Colocando em denominação comum 6:
\frac{1}{3} + \frac{3}{2} -4 = \frac{2}{6} + \frac{9}{6} - \frac{24}{6} = -\frac{13}{6}.
Portanto a área é
A = F(4)-F(-1) = \frac{56}{3} - \left(-\frac{13}{6}\right) = \frac{56}{3} + \frac{13}{6} = \frac{112+13}{6} = \frac{125}{6}.
Conferimos que o valor coincide com a integral indicada no enunciado.

Resposta

\dfrac{125}{6}

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