- Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas
e
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: esboçar e determinar a área delimitada pelas curvas
e
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as duas equações das curvas são e
. O enunciado já sugere uma integral dupla
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as duas equações das curvas são
o que implica que a região pode ser descrita por
variando de
a
e
variando entre as duas curvas.
Passo 2
A primeira tarefa prática é encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas — esses pontos delimitam onde a região começa e termina no eixo
. Para isso resolvemos
Trabalhando essa equação: primeiro colocamos tudo no mesmo lado
Agora resolvemos a quadrática
. Ela fatoriza facilmente porque procuramos dois números cuja soma é
e produto é
; esses números são
e
. Logo
Portanto as raízes são
e
. Calculamos as coordenadas
correspondentes usando, por exemplo,
:
Assim os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Esboço e posição relativa das curvas (descrição para desenhar sem figura):
- A reta
tem inclinação e intercepto em igual a . É uma linha reta subindo com coeficiente angular positivo. - A parábola
pode ser escrita completando o quadrado:
Logo a parábola tem vértice em
e abre para cima.
Para verificar qual curva está acima entre e
, avaliamos em um ponto interior, por exemplo
:
e
. Portanto, para
entre
e
, a reta
está acima da parábola
. Isso significa que a região delimitada é simples por fatias verticais: para cada
,
varia de
(abaixo) até
(acima).
Para verificar qual curva está acima entre
Passo 4
Formulação da integral para a área:
A área da região obtida por fatias verticais é dada por
A área
Explicando a ideia: cada fatia vertical em
tem altura
e largura
; integrar soma as áreas infinitesimais dessas fatias.
Passo 5
Simplificação do integrando e antiderivação:
Primeiro simplificamos a diferença:
Primeiro simplificamos a diferença:
Agora integramos o polinômio termo a termo. Lembrando a regra básica de integração de potências: para
,
Aplicando isso aos termos:
Esse é o antiderivado
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a área é
.
Passo 6
Avaliação da primitiva nos limites e cálculo final passo a passo:
Calculamos :
Calculamos
então
Agora
:
Colocando em denominação comum
:
Portanto a área é
Conferimos que o valor coincide com a integral indicada no enunciado.