- Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante
delimitado pelos planos
,
e pelo cilindro
. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo
. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)
Passo 1
O enunciado pede que a gente escreva a integral tripla, com os limites adequados, que calcula o momento de inércia do eixo em relação ao eixo
. As informações dadas são:
- densidade constante
; - a região é limitada lateralmente pelo cilindro
(ou seja, raio ); - a região é limitada verticalmente pelos planos
e .
Não é pedido calcular a integral, apenas expressá‑la com os limites corretos.
Passo 2
Conceito importante: o momento de inércia de um corpo de densidade
em relação ao eixo
é dado por
onde
é a distância de um ponto ao eixo
. Aqui a densidade é constante, então
. Explico as variáveis:
é o raio em torno do eixo
, e
é o volume infinitesimal.
Passo 3
Motivo de usar coordenadas cilíndricas: a região tem simetria cilíndrica (é limitada por
), então é muito mais natural usar
No sistema cilíndrico o elemento de volume é
(o fator
vem do jacobiano da transformação). Substituindo
e
temos o integrando
Passo 4
Determinar os limites de
e
: como a região é o disco de raio
no plano
,
Expliquei: o cilindro
corresponde a
, então
varia de
até
;
percorre toda a circunferência.
Passo 5
Determinar os limites em
: os planos dados são
e
. Reescrevendo o primeiro obtemos
. Em coordenadas cilíndricas
, então a cota inferior é
e a cota superior é
. Verificação rápida: como
e
, temos
, sempre menor que
, então a ordem inferior→superior está correta.
Passo 6
Juntando tudo, a integral tripla que representa o momento de inércia do eixo em relação ao eixo
é
Aqui cada parte tem sentido físico:
é a densidade,
vem de
(distância ao eixo ao quadrado) vezes o jacobiano
; os limites de
vêm dos planos, e os de
do cilindro.