1. Considere o eixo maciço de seção cilíndrica e densidade constante \delta delimitado pelos planos y+z=2, z=5 e pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4. Expresse a integral tripla, com os limites de integração adequados, que nos permite calcular o momento de inércia do eixo em relação ao eixo z. Não é necessário calcular a integral. (7 pontos)
\delta \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} \int_{2-r \operatorname{sen}(\theta)}^{5} r^{3} d z d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva a integral tripla, com os limites adequados, que calcula o momento de inércia do eixo em relação ao eixo z. As informações dadas são:
  • densidade constante \delta;
  • a região é limitada lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 (ou seja, raio 2);
  • a região é limitada verticalmente pelos planos y+z=2 e z=5.
    Não é pedido calcular a integral, apenas expressá‑la com os limites corretos.

Passo 2

Conceito importante: o momento de inércia de um corpo de densidade \rho em relação ao eixo z é dado por
I_{z}=\iiint_{V} \rho\, r_{\perp}^{2}\, dV,
onde r_{\perp} é a distância de um ponto ao eixo z. Aqui a densidade é constante, então \rho=\delta. Explico as variáveis: r_{\perp}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é o raio em torno do eixo z, e dV é o volume infinitesimal.

Passo 3

Motivo de usar coordenadas cilíndricas: a região tem simetria cilíndrica (é limitada por x^{2}+y^{2}=4), então é muito mais natural usar
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z.
No sistema cilíndrico o elemento de volume é dV = r\, dz\, dr\, d\theta (o fator r vem do jacobiano da transformação). Substituindo r_{\perp}^{2}=r^{2} e dV temos o integrando
\delta\, r^{2}\cdot r\, dz\, dr\, d\theta = \delta\, r^{3}\, dz\, dr\, d\theta.

Passo 4

Determinar os limites de r e \theta: como a região é o disco de raio 2 no plano xy,
0 \le r \le 2,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
Expliquei: o cilindro x^{2}+y^{2}=4 corresponde a r=2, então r varia de 0 até 2; \theta percorre toda a circunferência.

Passo 5

Determinar os limites em z: os planos dados são y+z=2 e z=5. Reescrevendo o primeiro obtemos z=2-y. Em coordenadas cilíndricas y=r\sin\theta, então a cota inferior é
z_{\text{inf}}=2-r\sin\theta,
e a cota superior é z_{\text{sup}}=5. Verificação rápida: como 0\le r\le2 e |\sin\theta|\le1, temos 2-r\sin\theta\in[0,4], sempre menor que 5, então a ordem inferior→superior está correta.

Passo 6

Juntando tudo, a integral tripla que representa o momento de inércia do eixo em relação ao eixo z é
I_{z}=\delta \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{\,2-r\sin\theta}^{\,5} r^{3}\, dz\, dr\, d\theta.
Aqui cada parte tem sentido físico: \delta é a densidade, r^{3} vem de r^{2} (distância ao eixo ao quadrado) vezes o jacobiano r; os limites de z vêm dos planos, e os de r,\theta do cilindro.

Resposta

\delta \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{2-r\sin\theta}^{5} r^{3}\, dz\, dr\, d\theta

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