1. Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}-\boldsymbol{x}-\mathbf{2} e \boldsymbol{y}=-\mathbf{2} \boldsymbol{x}+\mathbf{4}. (6 pontos)
\int_{-3}^{2} \int_{x^{2}-x-2}^{-2 x+4} d y d x=\frac{125}{6}

Passo 1

O enunciado dá as duas curvas
y = x^{2}-x-2
e
y = -2x+4
e pede que a gente esboce e determine a área delimitada pelos traçados dessas curvas. Também aparece no enunciado a expressão integral
\int_{-3}^{2}\int_{x^{2}-x-2}^{-2x+4} dy\,dx = \frac{125}{6},
mas vamos obter esse resultado passo a passo. As informações relevantes são: as duas equações das curvas e que a região procurada é a área fechada entre elas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção: igualamos as duas expressões de y:
x^{2}-x-2 = -2x+4.
Passos algébricos:
x^{2}-x-2 +2x -4 = 0
x^{2}+x-6 = 0.
Fatorando:
(x+3)(x-2)=0,
logo as abscissas de interseção são x=-3 e x=2. Para obter as ordenadas, substituímos na reta (é mais simples):
\text{se } x=-3,\; y=-2(-3)+4=6+4=10;
\text{se } x=2,\; y=-2(2)+4=-4+4=0.
Portanto os pontos de interseção são (-3,10) e (2,0).

Passo 3

Esboço e análise de qual curva fica acima entre as interseções. Algumas observações para esboçar:
  • A curva y=x^{2}-x-2 é uma parábola com coeficiente a=1>0, ou seja, abre para cima. O vértice está em
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2\cdot1} = \frac{1}{2},
e a ordenada do vértice é
y_v = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{2}-2 = \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}-2 = -\tfrac{9}{4}.
  • A reta y=-2x+4 tem coeficiente angular -2 (decresce) e intercepto em y=4.
Para saber qual curva é o “topo” da região, testamos um ponto entre -3 e 2, por exemplo x=0:
y_{\text{parábola}}(0)=0^{2}-0-2=-2,\qquad y_{\text{reta}}(0)=-2\cdot0+4=4.á
Como 4>-2, a reta está acima da parábola no intervalo [-3,2]. Logo a região limitada é aquela onde a reta é o limite superior e a parábola o limite inferior, entre x=-3 e x=2. No esboço mental: parábola em baixo com vértice em (\tfrac{1}{2},-\tfrac{9}{4}) e reta cortando-a nos pontos encontrados.

Passo 4

Fórmula para a área entre curvas (método de fatias verticais): se duas curvas se cruzam em x=a e x=b e a função y_{\text{top}}(x) está acima de y_{\text{bot}}(x) para x\in[a,b], então a área é
A=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui a=-3, b=2, y_{\text{top}}(x)=-2x+4 e y_{\text{bot}}(x)=x^{2}-x-2. Assim montamos a integral:
A=\int_{-3}^{2}\bigl((-2x+4)-(x^{2}-x-2)\bigr)\,dx.

Passo 5

Simplificação do integrando, passo a passo:
(-2x+4)-(x^{2}-x-2) = -2x+4 -x^{2}+x+2.
Agrupando termos semelhantes:
= -x^{2} -x +6.
Portanto a integral fica
A=\int_{-3}^{2} \bigl(-x^{2}-x+6\bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular a primitiva termo a termo. Recordando antiderivadas básicas:
  • \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • \displaystyle \int c\,dx = c x para constante c.
Aplicando:
\int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3},\qquad \int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2},\qquad \int 6\,dx = 6x.
Logo uma primitiva é
F(x) = -\frac{x^{3}}{3} -\frac{x^{2}}{2} +6x.
O valor da área é A=F(2)-F(-3).

Passo 7

Avaliação em x=2:
F(2) = -\frac{2^{3}}{3} -\frac{2^{2}}{2} +6\cdot2 = -\frac{8}{3} -\frac{4}{2} +12 = -\frac{8}{3} -2 +12 = -\frac{8}{3} +10 = \frac{-8+30}{3} = \frac{22}{3}.
Avaliação em x=-3:
F(-3) = -\frac{(-3)^{3}}{3} -\frac{(-3)^{2}}{2} +6(-3) = -\frac{-27}{3} -\frac{9}{2} -18 = 9 -\frac{9}{2} -18.
Simplificando:
9-18 = -9,\quad -9 -\frac{9}{2} = -\frac{18}{2}-\frac{9}{2} = -\frac{27}{2}.
Portanto F(-3)=-\dfrac{27}{2}.
Subtraindo:
A = F(2)-F(-3) = \frac{22}{3} -\left(-\frac{27}{2}\right) = \frac{22}{3} + \frac{27}{2}.
Colocando em denominador comum 6:
A = \frac{44}{6} + \frac{81}{6} = \frac{125}{6}.

Passo 8

Conclusão: a área da região limitada pelas curvas é \dfrac{125}{6}. Isso coincide com a integral dada no enunciado.

Resposta

\dfrac{125}{6}

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