- Esboce e determine a área delimitada pelos traçados das curvas
e
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado dá as duas curvas
e
e pede que a gente esboce e determine a área delimitada pelos traçados dessas curvas. Também aparece no enunciado a expressão integral
mas vamos obter esse resultado passo a passo. As informações relevantes são: as duas equações das curvas e que a região procurada é a área fechada entre elas.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção: igualamos as duas expressões de
:
Passos algébricos:
Fatorando:
logo as abscissas de interseção são
e
. Para obter as ordenadas, substituímos na reta (é mais simples):
Portanto os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Esboço e análise de qual curva fica acima entre as interseções. Algumas observações para esboçar:
- A curva
é uma parábola com coeficiente , ou seja, abre para cima. O vértice está em
e a ordenada do vértice é
- A reta
tem coeficiente angular (decresce) e intercepto em .
Para saber qual curva é o “topo” da região, testamos um ponto entre
e
, por exemplo
:
Como
, a reta está acima da parábola no intervalo
. Logo a região limitada é aquela onde a reta é o limite superior e a parábola o limite inferior, entre
e
. No esboço mental: parábola em baixo com vértice em
e reta cortando-a nos pontos encontrados.
Passo 4
Fórmula para a área entre curvas (método de fatias verticais): se duas curvas se cruzam em
e
e a função
está acima de
para
, então a área é
Aqui
,
,
e
. Assim montamos a integral:
Passo 5
Simplificação do integrando, passo a passo:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto a integral fica
Passo 6
Calcular a primitiva termo a termo. Recordando antiderivadas básicas:
-
para . -
para constante .
Aplicando:
Logo uma primitiva é
O valor da área é
.
Passo 7
Avaliação em
:
Avaliação em
:
Simplificando:
Portanto
.
Subtraindo:
Colocando em denominador comum
:
Passo 8
Conclusão: a área da região limitada pelas curvas é
. Isso coincide com a integral dada no enunciado.