- Calcule a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada pela reta
. (6 pontos)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pela reta
. Informações dadas e limites da região:
,
e
. Duas formas iteradas equivalentes são apresentadas:
Não resolvemos ainda; apenas identificamos o que é pedido e os limites.
Passo 2
Escolho calcular pela primeira ordem dada: integrar primeiro em
com
variando de
a
e depois em
de
a
. Explicando por que esses limites: para um
fixo entre
e
, a reta
dá
, então os pontos na vertical pertencentes a
vão de
até
. A integral iterada fica:
Passo 3
Agora calculo a integral interna
. Aqui
é constante em relação a
, então posso colocar
fora da integração em
:
A primitiva de
em relação a
é
. Assim,
Faço a expansão para facilitar a integral em
:
logo
Passo 4
Agora integro a expressão obtida em
de
a
:
Integro termo a termo (lembrando as primitivas básicas:
,
,
):
Avalio de
a
:
Passo 5
Calculo os termos numéricos:
Somando:
Opcional (verificação): se trocar a ordem e integrar primeiro em
obtém-se a mesma expressão e o mesmo resultado; portanto o valor está consistente.