1. Calcule a integral dupla \int_{R} \int x y d A, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela reta \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\mathbf{2}. (6 pontos)
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-x} x y d y d x=\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-y} x y d x d y=\frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} x y\, dA,
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela reta x+y=2. Informações dadas e limites da região: x\ge 0, y\ge 0 e x+y\le 2. Duas formas iteradas equivalentes são apresentadas:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{2-x} x y\, dy\, dx \qquad\text{e}\qquad \int_{0}^{2}\int_{0}^{2-y} x y\, dx\, dy.
Não resolvemos ainda; apenas identificamos o que é pedido e os limites.

Passo 2

Escolho calcular pela primeira ordem dada: integrar primeiro em y com y variando de 0 a 2-x e depois em x de 0 a 2. Explicando por que esses limites: para um x fixo entre 0 e 2, a reta x+y=2 y=2-x, então os pontos na vertical pertencentes a R vão de y=0 até y=2-x. A integral iterada fica:
\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{2-x} x y\, dy\right) dx.

Passo 3

Agora calculo a integral interna \int_{0}^{2-x} x y\, dy. Aqui x é constante em relação a y, então posso colocar x fora da integração em y:
\int_{0}^{2-x} x y\, dy = x\int_{0}^{2-x} y\, dy.
A primitiva de y em relação a y é \dfrac{y^{2}}{2}. Assim,
x\int_{0}^{2-x} y\, dy = x\left[\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2-x} = x\cdot \dfrac{(2-x)^{2}}{2}.
Faço a expansão para facilitar a integral em x:
(2-x)^{2}=4-4x+x^{2},
logo
x\cdot \dfrac{(2-x)^{2}}{2} = \dfrac{x}{2}(4-4x+x^{2}) =2x-2x^{2}+\dfrac{x^{3}}{2}.

Passo 4

Agora integro a expressão obtida em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\left(2x-2x^{2}+\dfrac{x^{3}}{2}\right) dx.
Integro termo a termo (lembrando as primitivas básicas: \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}, \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}, \int x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}):
\int 2x\,dx = x^{2},\qquad \int -2x^{2}\,dx = -\dfrac{2x^{3}}{3},\qquad \int \dfrac{x^{3}}{2}\,dx = \dfrac{x^{4}}{8}.
Avalio de 0 a 2:
\left[x^{2}-\dfrac{2x^{3}}{3}+\dfrac{x^{4}}{8}\right]_{0}^{2} = \left(2^{2}-\dfrac{2\cdot 2^{3}}{3}+\dfrac{2^{4}}{8}\right)-0.

Passo 5

Calculo os termos numéricos:
2^{2}=4,\qquad \dfrac{2\cdot 2^{3}}{3}=\dfrac{16}{3},\qquad \dfrac{2^{4}}{8}=\dfrac{16}{8}=2.
Somando:
4-\dfrac{16}{3}+2 = 6-\dfrac{16}{3} = \dfrac{18-16}{3}=\dfrac{2}{3}.
Opcional (verificação): se trocar a ordem e integrar primeiro em x obtém-se a mesma expressão e o mesmo resultado; portanto o valor está consistente.

Resposta

\dfrac{2}{3}

Exercícios relacionados