(a) Considere um elétorn em algum ponto dentro de um átomo de diâmetro 1 AA. Qual é a incerteza no momento do elétron? Isto é consistente com a energia de ligação de elétrons em átomos? (Essa energia é da ordem de dezenas de eV). (b) Imagine que um elétron esteja em algum ponto no interior de um núcleo de 10^-14 m. Qual é a incerteza no momento do elétron? Isto é consistente com a energia de ligação dos constituintes do núcleo? (Encontre a energia eletrostática entre um elétron e um próton nessa distância e compare com a energia cinética do elétron dentro do núcleo). (c) Considere agora um próton como estando dentro desse núcleo. Qual é a incerteza no momento do próton? Isso é consistente com a energia de ligação dos constituintes do núcleo?

Passo 1

O enunciado pede para estimar a incerteza no momento De<a p de uma partícula confinada em um tamanho De<a x, usando o princípio da incerteza de Heisenberg
De<a x,De<a psimhbar,
e depois comparar a energia cinética típica
Erm cinsim(De<a p)^22m
com as energias de ligação conhecidas: na ordem de dezenas de elétron-volts para elétrons em átomos, e de alguns MeV para constituintes do núcleo. Também, no item (b), devemos calcular a energia potencial eletrostática entre elétron e próton
U=e^24pivarepsilon0,r

Passo 2

Para (a), tomamos De<a x=1;AA=10^-10, m.
De<a psimhbarDe<a x =1,055times10^-34,J,s10^-10, m =1,055times10^-24,kg,m/s
A energia cinética típica vale
Erm cinsim(De<a p)^22me =(1,055times10^-24)^22,(9,11times10^-31), J approx6,1times10^-20, J approx0,38;eV
Como a energia de ligação eletrônica é da ordem de 10 100;eV, um confinamento de De<a xsim1;AA gera energia cinética menor que a energia de ligação, logo é compatível.

Passo 3

Para (b), tomamos De<a x=10^-14, m.
De<a psimhbarDe<a x =1,055times10^-3410^-14 =1,055times10^-20,kg,m/s
A energia cinética vale
Erm cinsim(De<a p)^22me =(1,055times10^-20)^22,(9,11times10^-31), J approx6,1times10^-11, J approx3,8times10^8;eV =380;MeV
A energia eletrostática entre elétron e próton a r=10^-14, mapprox10;fm é
U=e^24pivarepsilon0,r approx1,44;MeVcdot fm10;fm =0,144;MeV
Como Erm cinsim380;MeVgg Usim0,14;MeV, o elétron não pode ficar confinado no núcleo apenas pela atração coulômbica.

Passo 4

Para (c), o mesmo De<a x=10^-14, m mas agora mp=1,67times10^-27,kg.
De<a psim1,055times10^-20,kg,m/s,
Erm cinsim(De<a p)^22mp =(1,055times10^-20)^22,(1,67times10^-27), J approx3,3times10^-13, J approx2,1times10^6;eV =2,1;MeV
Energias de ligação nuclear por nucleon estão tipicamente em torno de 5 10;MeV, da ordem de Erm cin calculada. Isso mostra que o confinamento do próton no núcleo pode ser explicado pela força nuclear forte.

Resposta

(a) De<a papprox1,1times10^-24,kg,m/s, Erm cinsim0,4;eV, consistente com ligações atômicas de dezenas de eV.
(b) De<a papprox1,1times10^-20,kg,m/s, Erm cinsim380;MeV, muito maior que Usim0,14;MeV, logo elétron não se liga no núcleo.
(c) De<a papprox1,1times10^-20,kg,m/s, Erm cinsim2;MeV, da ordem da energia de ligação nuclear ( sim5 10;MeV).

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