em que é o degrau unitário, e analisar como varia a Região de Convergência (ROC) para diferentes valores de .
Passo 1
O enunciado pede a transformada da sequência causal
e a análise da Região de Convergência (ROC) conforme o valor de . Para isso vamos usar a definição
e a condição de convergência de uma série geométrica.
Passo 2
Como para , a soma fica
Essa série geométrica converge se e somente se
No caso de convergência, a soma é
X(z)=11-a,z^-1
ou, reorganizando,
X(z)=zz-a
Passo 3
Do resultado
X(z)=11-a,z^-1
vemos que há um único pólo em z=a e um zero em z=0 quando escrito como tfraczz-a. Como a sequência é causal, a ROC é o conjunto dos z fora do raio de módulo igual a |a|, ou seja,
ROC:|z|>|a|,
sempre estendendo-se até z=infty e sem incluir o pólo z=a.
Passo 4
Dependendo de ,|a|:
Se |a|<1, então ROC:;|z|>|a| inclui o círculo unitário e o sistema é BIBO estável.
Se |a|=1, o pólo está na fronteira do círculo unitário e a série não converge no contorno; formalmente a ROC permanece |z|>1 e o sistema é marginal ou instável.
Se |a|>1, a ROC |z|>|a| não contém o círculo unitário, indicando um sistema causal instável.