Objetivo: Obter a Transformada Z da sequência
x[n]=a^n u[n],
em que u[n] é o degrau unitário, e analisar como varia a Região de Convergência (ROC) para diferentes valores de a.

Passo 1

O enunciado pede a transformada Z da sequência causal
x[n]=a^nu[n]
e a análise da Região de Convergência (ROC) conforme o valor de a. Para isso vamos usar a definição
X(z)=sumn=-infty^inftyx[n],z^-n
e a condição de convergência de uma série geométrica.

Passo 2

Como x[n]=0 para n<0, a soma fica
X(z)=sumn=0^inftya^nz^-n=sumn=0^inftyl(a,z^-1r)^n
Essa série geométrica converge se e somente se
l|a,z^-1r|<1 Long<=ftrightarrow |z|>|a|
No caso de convergência, a soma é
X(z)=11-a,z^-1
ou, reorganizando,
X(z)=zz-a

Passo 3

Do resultado
X(z)=11-a,z^-1
vemos que há um único pólo em z=a e um zero em z=0 quando escrito como tfraczz-a. Como a sequência é causal, a ROC é o conjunto dos z fora do raio de módulo igual a |a|, ou seja,
ROC:|z|>|a|,
sempre estendendo-se até z=infty e sem incluir o pólo z=a.

Passo 4

Dependendo de ,|a|:
  • Se |a|<1, então ROC:;|z|>|a| inclui o círculo unitário e o sistema é BIBO estável.
  • Se |a|=1, o pólo está na fronteira do círculo unitário e a série não converge no contorno; formalmente a ROC permanece |z|>1 e o sistema é marginal ou instável.
  • Se |a|>1, a ROC |z|>|a| não contém o círculo unitário, indicando um sistema causal instável.

Resposta

X(z)=sumn=0^inftya^nz^-n =11-a,z^-1 =zz-a, ROC:;|z|>|a|

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