Mostre que sen A+sen B=2 cos [(A-B) / 2] sen[(A+B) / 2].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade trigonométrica
sin A + sin B = 2 cos!l(tfracA - B2r),sin!l(tfracA + B2r)
O conteúdo da matéria é o uso das fórmulas de ângulo soma e diferença de seno, em particular
sin(alpha pm beta) = sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta

Passo 2

Reescrevemos A e B em termos da média tfracA+B2 e da metade da diferença tfracA-B2:
A = A+B2 + A-B2, B = A+B2 - A-B2

Passo 3

Aplicando a fórmula de seno de soma e seno de diferença:
sin A = sin!l(tfracA+B2 + tfracA-B2r) = sin!l(tfracA+B2r)cos!l(tfracA-B2r) + cos!l(tfracA+B2r)sin!l(tfracA-B2r),
sin B = sin!l(tfracA+B2 - tfracA-B2r) = sin!l(tfracA+B2r)cos!l(tfracA-B2r) - cos!l(tfracA+B2r)sin!l(tfracA-B2r)

Passo 4

Somando sin A e sin B, os termos com cos!l(tfracA+B2r)sin!l(tfracA-B2r) se cancelam e sobra
sin A + sin B = 2,sin!l(tfracA+B2r),cos!l(tfracA-B2r)

Resposta

sin A + sin B = 2 cos!l(tfracA - B2r),sin!l(tfracA + B2r)

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