Considere um elétron em uma caixa esférica de raio
descrita pelo potencial
cuja solução da equação radial são as funções de Bessel esféricas
, com
e devido às condições de contorno, temos
onde
é o n-ésimo zero da função de Bessel
.
|
|
|
|
---|---|---|---|
|
3.142 | 6.283 | 12.566 |
|
4.493 | 7.725 | 10.904 |
|
5.763 | 9.095 | 12.323 |
Table 1: Zeros da função de bessel esférica
Qual tem que ser o valor do raio da caixa esférica para que a transição do estado fundamental para o segundo estado de menor energia possua uma frequência no azul, com comprimento de onda de 460 nm ? Dica: considere o comprimento de onda de Compton reduzido, .
a)
b)
c)
d)
Qual tem que ser o valor do raio da caixa esférica para que a transição do estado fundamental para o segundo estado de menor energia possua uma frequência no azul, com comprimento de onda de 460 nm ? Dica: considere o comprimento de onda de Compton reduzido,
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um elétron preso dentro de uma “caixa” esférica com raio $ R
r < R
r > R
R $) para que, quando o elétron passe do estado fundamental (o mais básico) para o segundo estado de menor energia, a frequência dessa transição seja uma luz azul com comprimento de onda de 460 nm. Para resolver isso, vamos precisar usar funções de Bessel esféricas e entender um pouquinho sobre energia de partículas em potenciais confinados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia dos estados do elétron na caixa esférica está relacionada aos zeros das funções de Bessel esféricas $ j_{\ell}(x) $. A relação que liga a energia $ E $ ao raio $ R $ da caixa é dada por:
onde $ k = \frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar} $ e $ x_{n, \ell} $ é o n-ésimo zero da função de Bessel $ j_{\ell}(x) $.
Passo 3
Agora, vamos pensar na diferença de energia entre dois estados, que corresponde à energia do fóton emitido ou absorvido na transição. Essa diferença é dada por:
onde $ h $ é a constante de Planck e $ \nu $ é a frequência da luz, que está relacionada ao comprimento de onda $ \lambda $ pela equação $ \nu = \frac{c}{\lambda} $.
Passo 4
Dado que o comprimento de onda $ \lambda $ é 460 nm, podemos calcular a frequência $ \nu $:
Passo 5
Agora, calculamos a diferença de energia $ \Delta E $:
Passo 6
Sabemos que a energia dos estados está relacionada aos zeros das funções de Bessel. Para o estado fundamental ($ n=1, \ell=0
n=1, \ell=1 $), os zeros são $ x_{1,0} = 3,142 $ e $ x_{1,1} = 4,493 $, respectivamente.
Passo 7
Usando a relação $ k R = x_{n, \ell} $ e $ k = \frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar} $, podemos relacionar as energias dos dois estados:
Subtraindo as duas equações para encontrar $ \Delta E = E_2 - E_1 $:
Passo 8
Agora, isolamos $ R $:
Passo 9
Substituindo os valores conhecidos:
- $ \hbar = 1,055 \times 10^{-34} , J·s $
- Massa do elétron $ m = 9,109 \times 10^{-31} , kg $
- $ x_{1,1} = 4,493 $, $ x_{1,0} = 3,142 $
- $ \Delta E = 4,32 \times 10^{-19} , J $
Passo 10
Calculando os termos dentro da raiz:
Resposta
A alternativa correta é c)
.