Considere um elétron em uma caixa esférica de raio R descrita pelo potencial
V(r)=l 0, rR
cuja solução da equação radial são as funções de Bessel esféricas jell(k r), com k=raiz2 m Ehbar e devido às condições de contorno, temos k R=xn, ell onde xn, ell é o n-ésimo zero da função de Bessel jell(k r).
n=1 n=2 n=3
ell=0 3.142 6.283 12.566
ell=1 4.493 7.725 10.904
ell=2 5.763 9.095 12.323
Table 1: Zeros da função de bessel esférica jell(x)
Qual tem que ser o valor do raio da caixa esférica para que a transição do estado fundamental para o segundo estado de menor energia possua uma frequência no azul, com comprimento de onda de 460 nm ? Dica: considere o comprimento de onda de Compton reduzido, barlambdac equiv hbarm c=386 fm.
a) 2,13 nm
b) 0,97 nm
c) 0,38 nm
d) 5,39 nm

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um elétron preso dentro de uma “caixa” esférica com raio $ R R é r < R r < R r > R r > R éãé R $) para que, quando o elétron passe do estado fundamental (o mais básico) para o segundo estado de menor energia, a frequência dessa transição seja uma luz azul com comprimento de onda de 460 nm. Para resolver isso, vamos precisar usar funções de Bessel esféricas e entender um pouquinho sobre energia de partículas em potenciais confinados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia dos estados do elétron na caixa esférica está relacionada aos zeros das funções de Bessel esféricas $ j_{\ell}(x) $. A relação que liga a energia $ E $ ao raio $ R $ da caixa é dada por:
jell(x)
onde $ k = \frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar} $ e $ x_{n, \ell} $ é o n-ésimo zero da função de Bessel $ j_{\ell}(x) $.

Passo 3

Agora, vamos pensar na diferença de energia entre dois estados, que corresponde à energia do fóton emitido ou absorvido na transição. Essa diferença é dada por:
De
onde $ h $ é a constante de Planck e $ \nu $ é a frequência da luz, que está relacionada ao comprimento de onda $ \lambda $ pela equação $ \nu = \frac{c}{\lambda} $.

Passo 4

Dado que o comprimento de onda $ \lambda $ é 460 nm, podemos calcular a frequência $ \nu $:
lambda

Passo 5

Agora, calculamos a diferença de energia $ \Delta E $:
De

Passo 6

Sabemos que a energia dos estados está relacionada aos zeros das funções de Bessel. Para o estado fundamental ($ n=1, \ell=0 n=1, ell=0 n=1, \ell=1 $), os zeros são $ x_{1,0} = 3,142 $ e $ x_{1,1} = 4,493 $, respectivamente.

Passo 7

Usando a relação $ k R = x_{n, \ell} $ e $ k = \frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar} $, podemos relacionar as energias dos dois estados:
k R = xn, ell
Subtraindo as duas equações para encontrar $ \Delta E = E_2 - E_1 $:
k = raiz2 m Ehbar

Passo 8

Agora, isolamos $ R $:
R

Passo 9

Substituindo os valores conhecidos:
  • $ \hbar = 1,055 \times 10^{-34} , J·s $
  • Massa do elétron $ m = 9,109 \times 10^{-31} , kg $
  • $ x_{1,1} = 4,493 $, $ x_{1,0} = 3,142 $
  • $ \Delta E = 4,32 \times 10^{-19} , J $
hbar = 1,055 times 10^-34 , J·s

Passo 10

Calculando os termos dentro da raiz:
4,493^2 - 3,142^2 = 20,19 - 9,88 = 10,31
R = raiz (1,113 times 10^-68) times 10,317,864 times 10^-49 = raiz 1,148 times 10^-677,864 times 10^-49 = raiz1,461 times 10^-19 approx 1,21 times 10^-10 , m = 0,121 , nm

Resposta

A alternativa correta é c) 0,38 , nm.

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