Considere um elétron em uma caixa esférica de raio
descrita pelo potencial
cuja solução da equação radial são as funções de Bessel esféricas
, com
e devido às condições de contorno, temos
onde
é o n-ésimo zero da função de Bessel
.
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---|---|---|---|
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3.142 | 6.283 | 12.566 |
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4.493 | 7.725 | 10.904 |
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5.763 | 9.095 | 12.323 |
Table 1: Zeros da função de bessel esférica
Considere que o fóton possui momento angular , e que transições capazes de emitir fótons precisam conservar o momento angular total. Seja:
Considere que o fóton possui momento angular
-
: a frequência da transição de menor energia capaz de emitir um fóton cujo estado final é o estado fundamental -
: a frequência da segunda transição de menor energia também capaz de emitir um fóton e cujo estado final é o estado fundamental.
Qual o valor da razão?
a) 1.42
b) 2.51
c) 4.83
d) 6.43
Passo 1
Então, temos um elétron preso dentro de uma “caixa” esférica de raio $ R $, onde o potencial $ V® $ é zero dentro da caixa ($ r < R
r > R $). Isso significa que o elétron não pode escapar da caixa. O problema utiliza funções de Bessel esféricas para descrever o comportamento do elétron e nos dá uma tabela com os zeros dessas funções para diferentes valores de $ \ell $. Precisamos encontrar a razão entre duas frequências de transição, $ \omega_2 / \omega_1 $, que estão relacionadas a como o elétron muda de energia emitindo fótons, respeitando a conservação do momento angular total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o elétron pode ocupar diferentes estados de energia dentro da caixa, e cada estado é caracterizado por dois números: $ n $ e $ \ell $. O número $ n $ indica o nível de energia (o “quantum” principal) e $ \ell $ está relacionado ao momento angular do elétron. As transições entre esses estados envolvem a emissão de fótons, e a frequência do fóton está relacionada à diferença de energia entre os estados.
Passo 3
A frequência de um fóton emitido em uma transição entre dois estados de energia é dada pela diferença de energia dividida por $ h $ (a constante de Planck). A energia dos estados está relacionada aos zeros das funções de Bessel, conforme dado na tabela.
A relação é:
onde $ x_{n,\ell} $ é o n-ésimo zero da função de Bessel esférica $ j_{\ell}(x) $.
Passo 4
Como as transições devem conservar o momento angular total e os fótons emitidos têm momento angular $ \hbar $, o estado final após a transição deve ter $ \ell $ diminuído em 1 (pois o fóton carrega uma unidade de momento angular). Portanto, se o estado inicial tem $ \ell = 1 $, o estado final será $ \ell = 0 $ (o estado fundamental).
Passo 5
Vamos encontrar as duas menores transições possíveis que seguem essa regra. Usando a tabela:
Para $ \ell = 1 $:
- $ n = 1 $: $ x_{1,1} = 4.493 $
- $ n = 2 $: $ x_{2,1} = 7.725 $
Para $ \ell = 0 $ (estado final):
- $ n = 1 $: $ x_{1,0} = 3.142 $
Passo 6
Calculamos as energias dos estados inicial e final usando a fórmula da energia:
Para a transição $ n=1, \ell=1 $ para $ n=1, \ell=0 $:
Diferença de energia:
Para a transição $ n=2, \ell=1 $ para $ n=1, \ell=0 $:
Diferença de energia:
Passo 7
A frequência de cada fóton emitido é dada por:
Então, temos:
Passo 8
Agora, a razão $ \omega_2 / \omega_1 $ é:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A razão $ \omega_{2} / \omega_{1} $ é aproximadamente 4.83.