Considere um elétron em uma caixa esférica de raio R descrita pelo potencial
V(r)=l 0, rR
cuja solução da equação radial são as funções de Bessel esféricas jell(k r), com k=raiz2 m Ehbar e devido às condições de contorno, temos k R=xn, ell onde xn, ell é o n-ésimo zero da função de Bessel jell(k r).
n=1 n=2 n=3
ell=0 3.142 6.283 12.566
ell=1 4.493 7.725 10.904
ell=2 5.763 9.095 12.323
Table 1: Zeros da função de bessel esférica jell(x)
Considere que o fóton possui momento angular hbar, e que transições capazes de emitir fótons precisam conservar o momento angular total. Seja:
  • omega1 : a frequência da transição de menor energia capaz de emitir um fóton cujo estado final é o estado fundamental
  • omega2 : a frequência da segunda transição de menor energia também capaz de emitir um fóton e cujo estado final é o estado fundamental.
    Qual o valor da razão omega2 / omega1 ?
    a) 1.42
    b) 2.51
    c) 4.83
    d) 6.43

Passo 1

Então, temos um elétron preso dentro de uma “caixa” esférica de raio $ R $, onde o potencial $ V® $ é zero dentro da caixa ($ r < R R r > R $). Isso significa que o elétron não pode escapar da caixa. O problema utiliza funções de Bessel esféricas para descrever o comportamento do elétron e nos dá uma tabela com os zeros dessas funções para diferentes valores de $ \ell $. Precisamos encontrar a razão entre duas frequências de transição, $ \omega_2 / \omega_1 $, que estão relacionadas a como o elétron muda de energia emitindo fótons, respeitando a conservação do momento angular total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o elétron pode ocupar diferentes estados de energia dentro da caixa, e cada estado é caracterizado por dois números: $ n $ e $ \ell $. O número $ n $ indica o nível de energia (o “quantum” principal) e $ \ell $ está relacionado ao momento angular do elétron. As transições entre esses estados envolvem a emissão de fótons, e a frequência do fóton está relacionada à diferença de energia entre os estados.

Passo 3

A frequência de um fóton emitido em uma transição entre dois estados de energia é dada pela diferença de energia dividida por $ h $ (a constante de Planck). A energia dos estados está relacionada aos zeros das funções de Bessel, conforme dado na tabela.
A relação é:
h
onde $ x_{n,\ell} $ é o n-ésimo zero da função de Bessel esférica $ j_{\ell}(x) $.

Passo 4

Como as transições devem conservar o momento angular total e os fótons emitidos têm momento angular $ \hbar $, o estado final após a transição deve ter $ \ell $ diminuído em 1 (pois o fóton carrega uma unidade de momento angular). Portanto, se o estado inicial tem $ \ell = 1 $, o estado final será $ \ell = 0 $ (o estado fundamental).

Passo 5

Vamos encontrar as duas menores transições possíveis que seguem essa regra. Usando a tabela:
Para $ \ell = 1 $:
  • $ n = 1 $: $ x_{1,1} = 4.493 $
  • $ n = 2 $: $ x_{2,1} = 7.725 $
Para $ \ell = 0 $ (estado final):
  • $ n = 1 $: $ x_{1,0} = 3.142 $

Passo 6

Calculamos as energias dos estados inicial e final usando a fórmula da energia:
Para a transição $ n=1, \ell=1 $ para $ n=1, \ell=0 $:
n=1, ell=1
n=1, ell=0
Diferença de energia:
E1 = hbar^2 (4.493)^22 m R^2
Para a transição $ n=2, \ell=1 $ para $ n=1, \ell=0 $:
E0 = hbar^2 (3.142)^22 m R^2
Diferença de energia:
De

Passo 7

A frequência de cada fóton emitido é dada por:
omega = De
Então, temos:
omega1 = De
omega2 = De

Passo 8

Agora, a razão $ \omega_2 / \omega_1 $ é:
omega2 / omega1
Calculando os valores:
omega2omega1 = 7.725^2 - 3.142^24.493^2 - 3.142^2
7.725^2 = 59.55
4.493^2 = 20.19
Então:
3.142^2 = 9.873

Resposta

A razão $ \omega_{2} / \omega_{1} $ é aproximadamente 4.83.

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