Considere a seguinte função de onda:
com
sendo o harmônico esférico,
um valor conhecido mas
e
constantes desconhecidas. Considere as afirmações:
(i) O momento angular total
de
é bem definido
(ii) O momento angular
de
é bem definido
(iii) Caso seja medido o momento angular total, o raio médio pode ser
ou
(iv) Caso seja medido o momento angular
, o raio médio pode ser
ou
(v) Não há informações suficientes para se obter o raio médio de
a) Todos corretos
b) Todos incorretos
c) (ii) e (iii) incorretos mas (i),(iv) e (v) corretos
d) (i) é incorreto mas as outras são corretas
e) (i) e (iv) incorretos mas (ii),(iii) e (v) corretos
(i) O momento angular total
(ii) O momento angular
(iii) Caso seja medido o momento angular total, o raio médio pode ser
(iv) Caso seja medido o momento angular
(v) Não há informações suficientes para se obter o raio médio de
a) Todos corretos
b) Todos incorretos
c) (ii) e (iii) incorretos mas (i),(iv) e (v) corretos
d) (i) é incorreto mas as outras são corretas
e) (i) e (iv) incorretos mas (ii),(iii) e (v) corretos
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda que é uma combinação de dois termos com diferentes harmônicos esféricos. Nosso objetivo é analisar algumas afirmações sobre o momento angular dessa função de onda e descobrir qual das opções apresentadas está correta.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com mecânica quântica, mais especificamente com funções de onda que envolvem harmônicos esféricos e momentos angulares.
O que vamos precisar: Entender o que significa ter o momento angular bem definido, saber trabalhar com harmônicos esféricos $ Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi) $ e propriedades dos operadores de momento angular $ L^2 $ e $ L_z $.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função de onda que você forneceu:
Aqui, temos dois termos:
- $ A e^{-k r} Y_{1}^{1}(\theta, \phi) $ com $ \ell = 1 $
- $ B e^{-2 k r} Y_{2}^{1}(\theta, \phi) $ com $ \ell = 2 $
Cada termo é uma função de onda com diferentes números quânticos angulares $ \ell $ e $ m $.
Passo 3
Afirmação (i): “O momento angular total $ L^{2} $ de $ \psi(\mathbf{r}) $ é bem definido.”
Para que o momento angular total $ L^{2} $ seja bem definido, a função de onda deve ser um autovalor único de $ L^{2} $. No entanto, nossa função de onda é uma superposição de estados com $ \ell = 1 $ e $ \ell = 2 $. Como $ L^{2} $ age em cada componente separadamente e elas têm $ \ell $ diferentes, $ L^{2} $ não é bem definido para a superposição.
Conclusão: A afirmação (i) está incorreta.
Passo 4
Afirmação (ii): “O momento angular $ L_{z} $ de $ \psi(\mathbf{r}) $ é bem definido.”
Para que $ L_{z} $ seja bem definido, todos os termos na superposição devem ter o mesmo valor de $ m $. Observando nossa função de onda:
- Ambos os termos têm $ m = 1 $.
Como todos os componentes têm o mesmo $ m $, $ L_{z} $ é bem definido para a superposição.
Conclusão: A afirmação (ii) está correta.
Passo 5
Afirmação (iii): “Caso seja medido o momento angular total, o raio médio pode ser $ \frac{3}{2k} $ ou $ \frac{3}{4k} $.”
Como $ L^{2} $ não é bem definido (como vimos na afirmação (i)), não podemos ter valores bem definidos de $ \ell $ para calcular o raio médio. Portanto, essa afirmação não faz sentido no contexto dado.
Conclusão: A afirmação (iii) está incorreta.
Passo 6
Afirmação (iv): “Caso seja medido o momento angular $ L_{z} $, o raio médio pode ser $ \frac{3}{2k} $ ou $ \frac{3}{4k} $.”
Como $ L_{z} $ é bem definido e ambos os termos têm $ m = 1 $, o raio médio dependeria apenas do termo que está contribuindo para a função de onda. No entanto, como temos uma superposição de dois estados com diferentes $ \ell $, mas o mesmo $ m $, a medição de $ L_{z} $ não determina qual $ \ell $ está presente, então o raio médio pode assumir ambos os valores dependendo de qual termo é “dominante” na medida.
Conclusão: A afirmação (iv) está incorreta porque o raio médio não está diretamente relacionado à medição de $ L_{z} $ neste caso.
Passo 7
Afirmação (v): “Não há informações suficientes para se obter o raio médio de $ \psi(\mathbf{r}) $.”
Como discutimos, para calcular o raio médio, precisaríamos conhecer a contribuição de cada estado com diferentes $ \ell $. Dada a superposição com coeficientes desconhecidos $ A $ e $ B $, realmente não temos informações suficientes para determinar o raio médio sem valores específicos para $ A $ e $ B $.
Conclusão: A afirmação (v) está correta.
Resposta
A opção correta é c) (ii) e (iii) incorretos mas (i), (iv) e (v) corretos.