Considere um elétron em um estado de spin |\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt{6}}\binom{1-i}{2} escrito na base dos autoestados do operador spin S_{z}. Uma medida é feita sobre sua componente z de spin, S_{z}. Calcule as probabilidades de se observar, na medida de S_{z}, um valor +\hbar / 2 e um valor -\hbar / 2.

Passo 1

O enunciado dá o estado de spin do elétron escrito na base dos autoestados de S_z:
|\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1-i\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Pergunta: ao medir a componente S_z, quais são as probabilidades de obter (a) +\hbar/2 e (b) -\hbar/2?\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{vetor de estado }|\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1-i\\\ 2\end{pmatrix},
está na base dos autoestados de S_z (logo os componentes do vetor são as amplitudes nos estados |+\rangle e |-\rangle).]

Passo 2

Princípio de medida (explicação didática): se um sistema está no estado
|\psi\rangle=\sum_i c_i |i\rangle,
e você mede uma observável cuja base de autoestados é \{|i\rangle\}, então a probabilidade de obter o resultado associado a |i\rangle é
P(i)=|c_i|^2.
Aqui c_i é a amplitude complexa correspondente ao autoestado |i\rangle. O símbolo |c_i|^2 significa o quadrado do módulo do número complexo c_i; uma forma prática de calcular é |c_i|^2 = c_i^* c_i, onde c_i^* é o conjugado complexo de c_i.

Passo 3

Identificação das amplitudes no nosso caso: como o vetor está na base de S_z,
a primeira componente corresponde ao autoestado com eigenvalor +\hbar/2 e a segunda componente ao eigenvalor -\hbar/2. Portanto
a=\frac{1-i}{\sqrt{6}}\quad\text{(amplitude para \(+\hbar/2\))},
b=\frac{2}{\sqrt{6}}\quad\text{(amplitude para \(-\hbar/2\))}.

Passo 4

Calcular P(+\hbar/2)=|a|^2. Primeiro, o conjugado de (1-i) é (1+i). Usando |a|^2 = a^* a e lembrando o fator 1/\sqrt{6}:
|a|^2=\frac{(1-i)(1+i)}{6}.
Agora calcule o produto no numerador:
(1-i)(1+i)=1+i-i-i^2=1 - i^2 = 1-(-1)=2.
Portanto
|a|^2=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Interpretação: a probabilidade de medir +\hbar/2 é \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Calcular P(-\hbar/2)=|b|^2. Aqui b=\dfrac{2}{\sqrt{6}} é real, então
|b|^2=\frac{2^2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Verificação rápida: \tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}=1, como deve acontecer para probabilidades de todas as saídas possíveis.

Passo 6

Conclusão final e incentivo: portanto, as probabilidades pedidas são simples de obter aplicando a regra P=|\text{amplitude}|^2. Calcule sempre o conjugado quando a amplitude for complexa e lembre-se de verificar se as probabilidades somam 1 — isso detecta erros aritméticos.\n
Você está indo bem — só lembrar desse procedimento na prova que dá certo!

Resposta

P(+\hbar/2)=\dfrac{1}{3}
P(-\hbar/2)=\dfrac{2}{3}

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