Considere dois vetores não normalizados dados por
|\psi\rangle=\binom{1+i}{2 i} \quad \mathrm{e}|\varphi\rangle=\binom{1}{e^{i \pi / 4}}
(a) Calcule as formas de |\psi\rangle e |\varphi\rangle normalizadas. As seguintes contas devem ser feitas com os vetores já normalizados. (b) Calcule \langle\psi \mid \varphi\rangle,\langle\psi \mid \psi\rangle e \langle\varphi \mid \varphi\rangle. (c) Encontre |\langle\psi \mid \varphi\rangle|^{2}. O que essa quantidade significa?

Passo 1

O enunciado dá dois vetores-coluna (não normalizados):
|\psi\rangle=\binom{1+i}{2 i}
e
|\varphi\rangle=\binom{1}{e^{i \pi / 4}}.
As perguntas são:
  1. (a) Calcular as formas normalizadas de |\psi\rangle e |\varphi\rangle. As contas seguintes devem usar os vetores já normalizados.
  2. (b) Calcular \langle\psi \mid \varphi\rangle, \langle\psi \mid \psi\rangle e \langle\varphi \mid \varphi\rangle (usando os vetores normalizados).
  3. (c) Calcular |\langle\psi \mid \varphi\rangle|^{2} e explicar o que essa quantidade significa.
Informações relevantes dadas:
  • Componentes complexas dos vetores conforme acima.
  • Devemos normalizar antes de calcular produto interno e normas (ou seja, trabalhar com vetores unitários).
    Não há outras informações ou figuras a considerar.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática passo a passo):
  • Produto interno entre vetores coluna complexos: se |u\rangle=\binom{u_1}{u_2} e |v\rangle=\binom{v_1}{v_2}, então
\langle u\mid v\rangle = \overline{u_1}\,v_1 + \overline{u_2}\,v_2,
ou seja, tomamos o conjugado complexo das componentes de u (isso é o bra \langle u|) e multiplicamos somando.
  • Norma ao quadrado de um vetor |v\rangle é \langle v\mid v\rangle. A norma é \|v\|=\sqrt{\langle v\mid v\rangle}.
  • Para normalizar um vetor |v\rangle fazemos |v_{\text{norm}}\rangle = \dfrac{|v\rangle}{\|v\|} de modo que \langle v_{\text{norm}}\mid v_{\text{norm}}\rangle = 1.
  • Significado físico (breve): para estados normalizados em mecânica quântica, |\langle\psi\mid\varphi\rangle|^{2} é a probabilidade de transição ou a probabilidade de projetar o estado |\varphi\rangle sobre |\psi\rangle (ou vice-versa, depende da ordem), varia entre 0 e 1.
Vou aplicar essas fórmulas explicitamente aos vetores dados, sempre mostrando cada conta.

Passo 3

Normalização de |\psi\rangle.
Calculo a norma ao quadrado de |\psi\rangle (aqui uso as componentes do enunciado):
\langle\psi\mid\psi\rangle = |1+i|^{2} + |2i|^{2}.
Explico cada módulo:
  • |1+i|^{2} = (1+i)(1-i) = 1^{2}+1^{2}=2.
  • |2i|^{2} = (2)^{2}\cdot|i|^{2} = 4\cdot 1 = 4.
    Somando,
\langle\psi\mid\psi\rangle = 2 + 4 = 6.
Portanto a norma é \|\,\psi\| = \sqrt{6}. Logo o vetor normalizado é
|\psi_{\text{norm}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}\binom{1+i}{2i}.
Comentário: não esquenta com o i — para norma usamos módulo (conjugado vezes) que transforma i em magnitude 1.

Passo 4

Normalização de |\varphi\rangle.
Calculo a norma ao quadrado de |\varphi\rangle:
\langle\varphi\mid\varphi\rangle = |1|^{2} + \big|e^{i\pi/4}\big|^{2}.
Sabemos que |1|^{2} = 1 e \big|e^{i\pi/4}\big| = 1 (qualquer e^{i\theta} tem módulo 1). Logo
\langle\varphi\mid\varphi\rangle = 1 + 1 = 2.
A norma é \|\,\varphi\| = \sqrt{2}. Então o vetor normalizado é
|\phi_{\text{norm}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{e^{i\pi/4}}.

Passo 5

Agora calculo \langle\psi\mid\varphi\rangle usando os vetores normalizados |\psi_{\text{norm}}\rangle e |\phi_{\text{norm}}\rangle.
Escrevendo explicitamente:
\langle\psi_{\text{norm}}\mid\phi_{\text{norm}}\rangle = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1+i \\\\ 2i\end{pmatrix}\right)^\dagger \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\\ e^{i\pi/4}\end{pmatrix}\right).
O fator escalar é \dfrac{1}{\sqrt{6}}\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{12}}.
Agora o bra é conjugado componente a componente:
\overline{1+i}=1-i,\qquad \overline{2i}=-2i.
Portanto o produto interno é
\langle\psi_{\text{norm}}\mid\phi_{\text{norm}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{12}}\Big[(1-i)\cdot 1 + (-2i)\cdot e^{i\pi/4}\Big].

Passo 6

Faço a multiplicação do segundo termo com cuidado (passo a passo):
  • Primeiro escrevo e^{i\pi/4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1+i).
  • Então
(-2i)\,e^{i\pi/4} = -2i\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) = -\sqrt{2}\,i(1+i).
Multiplico i(1+i)=i + i^{2} = i -1. Então
-\sqrt{2}\,i(1+i) = -\sqrt{2}(i - 1) = \sqrt{2}( -i + 1 ) = \sqrt{2}(1 - i).
Observação: aqui cuidei da ordem e do sinal do i. Agora volto ao somatório:
(1-i) + \sqrt{2}(1-i) = (1+\sqrt{2})(1 - i).
Logo
\langle\psi_{\text{norm}}\mid\phi_{\text{norm}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{12}}\,(1+\sqrt{2})\,(1 - i).
Posso simplificar o fator \dfrac{1}{\sqrt{12}} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}, então uma forma conveniente é
\langle\psi_{\text{norm}}\mid\phi_{\text{norm}}\rangle = \frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\,(1 - i).

Passo 7

Calculo \langle\psi\mid\psi\rangle e \langle\varphi\mid\varphi\rangle usando os vetores normalizados (mostrando que ficam iguais a 1, como devem):
  • Para |\psi_{\text{norm}}\rangle:
\langle\psi_{\text{norm}}\mid\psi_{\text{norm}}\rangle = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^{2}\big(|1+i|^{2} + |2i|^{2}\big) = \frac{1}{6}\cdot 6 = 1.
  • Para |\phi_{\text{norm}}\rangle:
\langle\phi_{\text{norm}}\mid\phi_{\text{norm}}\rangle = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\big(1 + |e^{i\pi/4}|^{2}\big) = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1.
Comentário simpático: perfeito — normalizar faz a norma virar 1, exatamente o objetivo.

Passo 8

Agora calculo |\langle\psi\mid\varphi\rangle|^{2}. Parto da expressão do Passo 6:
\langle\psi_{\text{norm}}\mid\phi_{\text{norm}}\rangle = \frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}(1 - i).
O módulo ao quadrado de um produto é o produto dos módulos ao quadrado, então
\big|\langle\psi_{\text{norm}}\mid\phi_{\text{norm}}\rangle\big|^{2} = \left(\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\right)^{2}\cdot |1 - i|^{2}.
Calculos:
  • |1 - i|^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2.
  • Então
\big|\langle\psi_{\text{norm}}\mid\phi_{\text{norm}}\rangle\big|^{2} = \frac{(1+\sqrt{2})^{2}}{4\cdot 3}\cdot 2 = \frac{(1+\sqrt{2})^{2}}{6}.
Expando (1+\sqrt{2})^{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}. Logo
\big|\langle\psi_{\text{norm}}\mid\phi_{\text{norm}}\rangle\big|^{2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}.
Cheque rápido: numericamente \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}\approx 0{,}9713, que está entre 0 e 1 — faz sentido.

Passo 9

Interpretação do resultado (didática curta e amigável):
  • \big|\langle\psi_{\text{norm}}\mid\phi_{\text{norm}}\rangle\big|^{2} é a probabilidade de transição (ou sobreposição) entre os dois estados normalizados. Em linguagem menos formal: se o sistema está no estado |\varphi\rangle e você pergunta “qual a probabilidade de encontrá-lo no estado |\psi\rangle?”, a resposta é exatamente esse número.
  • Exemplos rápidos para fixar: se fosse 0, os estados seriam ortogonais (nenhuma chance); se fosse 1, os estados seriam idênticos (certeza). Aqui deu aproximadamente 0{,}9713, ou seja, são bastante próximos, não exatamente iguais mas com alta sobreposição.
  • Você pode usar isso na prova: normalize sempre, calcule o produto interno com conjugados, depois tome o módulo ao quadrado para obter probabilidades.

Resposta

(a) |\psi_{\text{norm}}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\binom{1+i}{2i}, |\phi_{\text{norm}}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{e^{i\pi/4}}\n
(b) \langle\psi\mid\varphi\rangle = \dfrac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\,(1 - i), \langle\psi\mid\psi\rangle = 1, \langle\varphi\mid\varphi\rangle = 1\n
(c) |\langle\psi\mid\varphi\rangle|^{2} = \dfrac{(1+\sqrt{2})^{2}}{6} = \dfrac{3+2\sqrt{2}}{6} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{3}. Significado: é a probabilidade de transição / sobreposição entre os estados normalizados (probabilidade de projetar um estado no outro).

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