(a) Calcule as formas de |\psi\rangle e |\varphi\rangle normalizadas. As seguintes contas devem ser feitas com os vetores já normalizados. (b) Calcule \langle\psi \mid \varphi\rangle,\langle\psi \mid \psi\rangle e \langle\varphi \mid \varphi\rangle. (c) Encontre |\langle\psi \mid \varphi\rangle|^{2}. O que essa quantidade significa?
Passo 1
O enunciado dá dois vetores-coluna (não normalizados):
|\psi\rangle=\binom{1+i}{2 i}
e
|\varphi\rangle=\binom{1}{e^{i \pi / 4}}.
As perguntas são:
(a) Calcular as formas normalizadas de |\psi\rangle e |\varphi\rangle. As contas seguintes devem usar os vetores já normalizados.
(b) Calcular \langle\psi \mid \varphi\rangle, \langle\psi \mid \psi\rangle e \langle\varphi \mid \varphi\rangle (usando os vetores normalizados).
(c) Calcular |\langle\psi \mid \varphi\rangle|^{2} e explicar o que essa quantidade significa.
Informações relevantes dadas:
Componentes complexas dos vetores conforme acima.
Devemos normalizar antes de calcular produto interno e normas (ou seja, trabalhar com vetores unitários).
Não há outras informações ou figuras a considerar.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática passo a passo):
Produto interno entre vetores coluna complexos: se |u\rangle=\binom{u_1}{u_2} e |v\rangle=\binom{v_1}{v_2}, então
ou seja, tomamos o conjugado complexo das componentes de u (isso é o bra \langle u|) e multiplicamos somando.
Norma ao quadrado de um vetor |v\rangle é \langle v\mid v\rangle. A norma é \|v\|=\sqrt{\langle v\mid v\rangle}.
Para normalizar um vetor |v\rangle fazemos |v_{\text{norm}}\rangle = \dfrac{|v\rangle}{\|v\|} de modo que \langle v_{\text{norm}}\mid v_{\text{norm}}\rangle = 1.
Significado físico (breve): para estados normalizados em mecânica quântica, |\langle\psi\mid\varphi\rangle|^{2} é a probabilidade de transição ou a probabilidade de projetar o estado |\varphi\rangle sobre |\psi\rangle (ou vice-versa, depende da ordem), varia entre 0 e 1.
Vou aplicar essas fórmulas explicitamente aos vetores dados, sempre mostrando cada conta.
Passo 3
Normalização de |\psi\rangle.
Calculo a norma ao quadrado de |\psi\rangle (aqui uso as componentes do enunciado):
Cheque rápido: numericamente \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}\approx 0{,}9713, que está entre 0 e 1 — faz sentido.
Passo 9
Interpretação do resultado (didática curta e amigável):
\big|\langle\psi_{\text{norm}}\mid\phi_{\text{norm}}\rangle\big|^{2} é a probabilidade de transição (ou sobreposição) entre os dois estados normalizados. Em linguagem menos formal: se o sistema está no estado |\varphi\rangle e você pergunta “qual a probabilidade de encontrá-lo no estado |\psi\rangle?”, a resposta é exatamente esse número.
Exemplos rápidos para fixar: se fosse 0, os estados seriam ortogonais (nenhuma chance); se fosse 1, os estados seriam idênticos (certeza). Aqui deu aproximadamente 0{,}9713, ou seja, são bastante próximos, não exatamente iguais mas com alta sobreposição.
Você pode usar isso na prova: normalize sempre, calcule o produto interno com conjugados, depois tome o módulo ao quadrado para obter probabilidades.
Resposta
(a) |\psi_{\text{norm}}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\binom{1+i}{2i}, |\phi_{\text{norm}}\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{e^{i\pi/4}}\n
(b) \langle\psi\mid\varphi\rangle = \dfrac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\,(1 - i), \langle\psi\mid\psi\rangle = 1, \langle\varphi\mid\varphi\rangle = 1\n
(c) |\langle\psi\mid\varphi\rangle|^{2} = \dfrac{(1+\sqrt{2})^{2}}{6} = \dfrac{3+2\sqrt{2}}{6} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{3}. Significado: é a probabilidade de transição / sobreposição entre os estados normalizados (probabilidade de projetar um estado no outro).